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Cálculo de límite de funciones. AP02

Contenido: Cálculo del límite de funciones polinómicas.

Cálculo del límite de funciones (I)

Cálculo del límite de funciones polinómicas

Una función polinómica es una función del tipo:

f(x) = a0 + a1·x + a2·x² + … + an·xn

Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:

A. Límite de una función polinómica en el punto x0 finito

B. El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:

Límite de una función polinómica en el infinito

El límite de una función polinómica en el infinito es +∞ ó -∞, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:

Límite de x tendiendo a infinito a0 + a1·x + a2·x² + … + an·xn = + ∞; si an es positivo.

Límite de x tendiendo a infinito a0 + a1·x + a2·x² + … + an·xn = -∞; si an es negativo.

Ejercicio: cálculo de límites de funciones polinómicas

1) Calcular Límite de x tendiendo a menos 1 4·x³ - 3·x - 2

Resolución:

Límite de x tendiendo a menos 1 (4·x³ - 3·x - 2) = 4·(-1)³ - 3·(-1) - 2 = -4 + 3 - 2 = -3

2) Límite de x tendiendo a infinito 3 + x² - 4·x5 y Límite de x tendiendo a infinito 8·x³/3 + 5·x/2 - 6

Resolución:

Límite de x tendiendo a infinito 3 + x² - 4·x5 = -∞ (ya que el coeficiente del término de mayor grado es -4)

Límite de x tendiendo a infinito 8·x³/3 + 5·x/2 - 6 = + ∞ (puesto que el coeficiente del término de mayor grado, 8/3, es positivo)

Cálculo de límites de funciones racionales

Una función racional es una función del tipo f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:

A. Límite de una función racional en el punto x0 finito

Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:

Límite de x tendiendo a x cero P(x)/Q(x) = Límite de x tendiendo a x cero P(x)/Límite de x tendiendo a x ceroQ(x)

Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.

Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.

A.1. El límite del denominador es distinto de cero: Límite de x tendiendo a x ceroQ(x) ≠ 0

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.

A.2. El límite del denominador es cero: Límite de x tendiendo a x ceroQ(x) = 0

Si el denominador se anula en x0, puede ocurrir que el numerador también se anule en x0, o que el numerador no se anule en x0

A.2.1. El límite del numerador también es cero: Límite de x tendiendo a x ceroQ(x) = 0 y Límite de x tendiendo a x cero P(x) = 0

En este caso se obtiene el resultado 0/0, que es una indeterminación.

Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x0) = 0 y P(x0) = 0, x0 es raíz de los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente P(x)/Q(x) se puede simplificar.

Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x0 ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.

A.2.2. El límite del numerador no es cero.

El límite del cociente da como resultado la indeterminación Límite de x tendiendo a x cero P(x)/0

Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la función f(x) = P(x)/Q(x), en el punto x0

Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.

Ejercicio: cálculo de límites de funciones racionales (x → x0)

1) Calcular el límite de la función f(x) = (2·x³ - 1)/(3·x² + 4), cuando x → 1

Resolución:

Límite de x tendiendo a 1 (2·x³ - 1)/(3·x² + 4) = Límite de x tendiendo a 1 (2·x³ - 1)/Límite de x tendiendo a 1 (3·x² + 4) = 1/7
2) Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2·x² - 6·x + 12)/(x² + 3·x - 10), cuando x → 2

Resolución:

Límite de x tendiendo a 2 (x³ - 2·x² - 6·x + 12)/(x² + 3·x - 10) =Límite de x tendiendo a 2 (x³ - 2·x² - 6·x + 12)/Límite de x tendiendo a 2 (x² + 3·x - 10) = (2³ - 2·2² - 6·2 + 12)/(2² + 3·2 - 10) = 0/0

Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2·x² - 6·x + 12 y

Q(x) = x² + 3·x -10.

Descomposición factorial de P(x):

 

1

-2

-6

12

2

 

2

0

-12

 

1

0

-6

0

P(x) = x³ - 2·x² - 6·x + 12 = (x - 2)·(x² - 6)

Descomposición factorial de Q(x):

 

1

3

-10

2

 

2

10

 

1

5

0

P(x) = x² + 3·x - 10 = (x - 2)·(x + 5)

El límite del cociente P(x)/Q(x) es:

Límite de x tendiendo a 2 (x³ - 2·x² - 6·x + 12)/(x² + 3·x - 10) = Límite de x tendiendo a 2 [(x - 2)·(x² - 6)]/[(x - 2)·(x + 5)] = Límite de x tendiendo a 2 (x² - 6)/(x + 5) = -2/7

3) Calcular el límite de la función f(x) = (3·x² - 4·x)/x, cuando x → 0

Resolución:

Límite de x tendiendo a 0 (3·x² - 4·x)/x = Límite de x tendiendo a 0 (3·x² - 4·x)/Límite de x tendiendo a 0 x = 0/0, indeterminación.

Se simplifican numerador y denominador:

Límite de x tendiendo a 0 (3·x² - 4·x)/x = Límite de x tendiendo a 0 x·(3·x - 4)/x = Límite de x tendiendo a 0 (3·x - 4) = -4

4) Calcular Límite de x tendiendo a 3 1/(x - 3)²

Resolución:

Límite de x tendiendo a 3 1/(x - 3)² = 1/Límite de x tendiendo a 3 (x - 3)² = 1/0, indeterminación.

Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3.

Límite de x tendiendo a más 3 1/(x - 3)² = Límite de x tendiendo a más 3 1/Límite de x tendiendo a más 3 (x - 3)² = 1/0 = + ∞

Límite de x tendiendo a menos 3 1/(x - 3)² = Límite de x tendiendo a menos 3 1/Límite de x tendiendo a menos 3 (x - 3)² = 1/0 = + ∞

Como los límites laterales coinciden, Límite de x tendiendo a 3 1/(x - 3)² = + ∞
Calcular el límite de la función f(x) = 1/(x - 1), cuando x → 1.

Resolución:

Límite de x tendiendo a 1 1/(x - 1) = Límite de x tendiendo a 1 1/Límite de x tendiendo a 1 (x - 1) = 1/0, indeterminación.

Se estudian los límites laterales:

Límite de x tendiendo a más 1 1/(x - 1) = Límite de x tendiendo a más 1 1/Límite de x tendiendo a más 1 (x - 1) = 1/0 = + ∞

Límite de x tendiendo a menos 1 1/(x - 1) = Límite de x tendiendo a menos 1 1/Límite de x tendiendo a menos 1 (x - 1) = 1/0 = - ∞

Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.

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