Cálculo de límites de funciones (II)
Límite de una función racional en el infinito
Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x ⟶ ±∞, son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.
El límite de una función racional cuando x ⟶ ±∞, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.
Si:
P(x) = a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ
Q(x) = b₀ + b₁·x + b₂·x² + … + bₙ·xⁿ
El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:
- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es ± ∞, dependiendo de que los signos de los cocientes aₙ y bₘ sean iguales o distintos
- Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es el cociente aₙ/bₘ
- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el límite es 0
Ejemplos de cálculo de límites de funciones racionales (x ⟶ ∞)
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función f(x) = (3·x² - 2·x - 5)/(x - 4), cuando x ⟶ ∞
Solución
En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞.
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x² - 4), cuando x ⟶ ∞
Solución
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:
Ejemplo nº 3
Calcular:
Solución
El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:
Ejemplo nº 4
Calcular:
Solución
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:
Cálculo de límites de funciones irracionales
Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz.
Son funciones irracionales las siguientes:
El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.
A. Cálculo del límite de una función irracional en un punto x₀ finito
Estos límites se resuelven, en general, como si de una función racional se tratara.
En el caso de que, calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador.
Ejemplos de cálculo de límites de funciones irracionales (x ⟶ x₀)
Ejemplo nº 1
Calcular:
Solución
Ejemplo nº 2
Calcular:
Solución
, indeterminación
Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador, 
:
Ejemplo nº 3
Resolver el siguiente límite:
Solución
, indeterminación
Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por 
+
Cálculo del límite de una función irracional en el infinito
B.1. Límites indeterminado de la forma ∞/∞
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ∞/∞, ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales.
Ejemplos de cálculo de límites indeterminados de la forma ∞/∞
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función 
, cuando x ⟶ ∞
Solución
, indeterminación
Haciendo uso de la regla mencionada, resulta:
- Grado del numerador = 3
- Grado del denominador = ½, (puesto que
= x½)
Por lo tanto,
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función:
, cuando x ⟶ ∞
Solución
Calculando el límite del numerador y del denominador se obtiene:
, indeterminación
Estudiando los grados:
- Grado del numerador = 1
- Grado del denominador = 1 (puesto que
)
Por lo tanto, el límite es:
3) Calcular:
Solución
, indeterminación
Por lo tanto, el límite es:
B.2. Límites indeterminado de la forma ∞ - ∞
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación
∞ - ∞ ésta se resuelve generalmente multiplicando y dividiendo la función por su conjugada.
Ejemplos de cálculo de límites indeterminados de la forma ∞ - ∞
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función 
, cuando x ⟶ ∞.
Solución
, indeterminación
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, 
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función 
, cuando x ⟶ ∞.
Solución
, indeterminación
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, 
Ejemplo nº 3
Calcular el límite de la función 
, cuando x ⟶ ∞.
Solución
, indeterminación
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, 
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es una indeterminación en límites?