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Continuidad de funciones elementales. AP05

Contenido: Función constante, identidad, potencial, racional, exponencial y logarítmica. Clasificación de puntos de discontinuidad

Continuidad de funciones elementales

Función constante

La función constante f(x) = k es contínua en todos los puntos.

  f(x) = k

  f(x) = f(x0)

f(x0) = k

Función identidad

La función identidad f(x) = x es contínua en todos los puntos.

  f(x) = x0

  f(x) = f(x0)

f(x0) = x0

Función potencial

La función potencial f (x) = xn es contínua en todos sus puntos, salvo el caso en que n < 0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.

  f(x) = x0n

  f(x) = f(x0)

f(x0) = x0n

Función polinómica

La función f(x) = a0 + a1·x + a2·x² + … + an·xn es una función contínua en todos

los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.

  f(x) = a0 + a1·x + a2·x² + … + a0·xn

  f(x) = f(x0)

f(x0) = a0 + a1·x + a2·x² + … + a0·xn

Función racional

La función f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es contínua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.

Función exponencial

La función exponencial f(x) = ax, con a > 0, es contínua en todos los puntos.

  f(x) = ax0

  f(x) = f(x0)

f(x0) = ax0

Función logarítmica

La función f(x) = loga x, siendo a > 1, es contínua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +∞).

  f(x) = loga x0

  f(x) = f(x0)

f(x0) = loga x0

Ejercicio: estudio de los puntos de continuidad

1) Indicar en qué puntos la función f(x) = (2·x² - 3)/(x - 3) es discontinua.

Resolución:

La función es contínua en todos los puntos salvo en los que se anula el denominador, ya que en éstos la función no estará definida; es decir, en x = 3.

La función es contínua en todos los puntos salvo en x = 3, en el que es discontinua.

2) Realizar un estudio e indicar si la función f(x) = (x - 5)/(x² - 3·x - 10) es contínua en los intervalos (-3, 0) y (0, 2).

Resolución:

  • La función es contínua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula. El denominador se anula en x = -2 y en x = 5
  • El punto x = -2 está en el intervalo (-3, 0), luego en éste la función no es contínua.
  • - 2 ∉ (0, 2) y 5 ∉ (0, 2); luego en este intervalo la función f(x) sí es contínua.

Clasificación de puntos de discontinuidad

Para que una función f(x) sea discontínua (o no contínua) en un punto x0 deberá darse una, al menos, de estas condiciones:

  1. No existe   f(x) o no existe   f(x)
  2. Los límites laterales existen, pero   f(x) ≠   f(x)
  3. Existe   f(x), pero   f(x) ≠ f(x0)
    Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es contínua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).

Discontinuidad evitable

Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c):

x0 es un punto de discontinuidad evitable ⇔   f(x) ≠ f(x0)

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su límite.

En este caso a   f(x) = f(x0) se le denomina verdadero valor de la función en x0, y es el que hace la que la función sea contínua en ese punto.

Discontinuidad inevitable

Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.

x0 es un punto de discontinuidad inevitable ⇔

No existe   f(x)

o no existe   f(x)

o no existe   f(x)

Ejercicio: estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función

Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función

f(x) =

x + 2, si x ≠ 1
1, si x = 1

Resolución:

  • La función x + 2 es contínua en todos los puntos.
  • La función f(x) es contínua en todos los puntos salvo en x = 1; ya que f(1) = 1

  f(x) =   x + 2 = 3

  f(x) =   x + 2 = 3

  f(x) ≠ f(1)

Si se asigna a f(1) el valor 3, valor de   f(x), se evita la discontinuidad y entonces f(x) = x + 2 es contínua en todos los puntos.

El verdadero valor de la función en x = 1 es 3.

2) Estudiar la discontinuidad (evitable o no) de la función f(x) =

2, si x < 3
1, si x ≥ 3

Resolución:

f(x) es contínua en todos los puntos salvo en x = 3.

  f(x) =   2 = 2

  f(x) =   1 = 1

  f(x) ≠   f(x)

La discontinuidad es inevitable.

3) Estudiar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función f(x) = (x² - 4)/(x - 2)

Resolución:

  • La función es contínua en todos los puntos salvo en los que se anule el denominador: x = 2
  • Se procede a ver si la discontinuidad en x0 = 2 es evitable o no:

  (x² - 4)/(x - 2) =   (x - 2)·(x + 2)/(x - 2) =   (x + 2) = 4

El límite existe y es 4, por lo tanto la discontinuidad en x0 = 2 es evitable. El verdadero valor de la función en x0 = 2 es 4.

Asignando a f(2) el valor 4, la función

f(x) =

(x² - 4)/(x - 2), si x ≠ 2
4, si x = 2

es contínua en todos los puntos.

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