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Continuidad de funciones. AP04

Contenido: Función continua. Operaciones con funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas. ¿Cómo saber si una función es continua o discontinua?

Continuidad

Función contínua

Una función f es contínua en un punto x0 cuando existe el límite de la función en x0 y coincide con el valor que toma la función en x0

f es contínua en x0  f(x) = f(x0)
Para que una función sea contínua en x0, se tienen que cumplir tres condiciones:

  1. Existir el límite de la función cuando x → x0
  2. Estar definida la función en x0, es decir, existir f(x0).
  3. Los dos valores anteriores han de coincidir:   f(x) = f(x0)

Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0

Se dice que una función es contínua en un intervalo cuando es contínua en todos los puntos del intervalo.

Ejercicio: estudio de la discontinuidad de una función

1) Probar que la función definida por f(x) =

2, si x ≤ 3
-1, si x > 3

es discontínua en el punto x0 = 3.

Resolución:

Para probar la discontinuidad de la función en x0 = 3 hay que ver cuál de la tres condiciones de continuidad no se cumple.

En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden:

  f(x) = -1

  f(x) = 2

Por lo tanto, la función es discontínua en x0 = 3.

2) Probar que la función definida por f(x) =

1, si x < 3
x - 2, si x > 3

es discontínua en el punto x0 = 3.

Resolución:

En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden:

  f(x) =   1 = 1

  f(x) =   (x - 2) = 3 - 2 = 1

Sin embargo, la función no está definida en x0 = 3; no existe f (3).

Por tanto, la función es discontínua en x0 = 3.

3) ¿Es la función definida por f(x) =

x² - 1, si x ≠ 2
5, si x = 2

discontínua en el punto x0 = 2?

Resolución:

Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden:

  f(x) = 2² - 1 = 3

  f(x) = 2² - 1 = 3

  • La función está definida para x = 2 y vale 5: f(2) = 5.
  • Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x → 2 no coincide con f (2):

  f(x) = 3 ≠ f(2) = 5
Por tanto, la función es discontínua en x0 = 2.

Operaciones con funciones contínuas

Suma

La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función contínua en ese punto.

Demostración:

Sean f y g dos funciones continuas en un punto x0. Esto significa que:

  f(x) = f(x0) y   g(x) = g(x0)
Para probar que la función suma f + g es una función contínua en x0, es necesario demostrar que   (f + g)(x) = (f + g)(x0)

Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,

  (f + g)(x) =   f(x) +   g(x) = f(x0) + g(x0) = (f + g)(x0)
La demostración es válida para una suma de n funciones continuas en x0

Resta

La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función contínua en ese punto.

Esta demostración, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basándose en las propiedades de los límites de funciones.

Producto

El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función contínua en ese punto.

Producto de una función por un número

El producto de una función contínua en un punto, por un número real, es otra función contínua en ese punto.

Cociente

El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función contínua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).

Composición de funciones

Si f es una función contínua en x0 y g es otra función contínua en f(x0), la función compuesta gof es contínua en el punto x0

Propiedades de las funciones contínuas

Si una función es contínua en un punto x0, entonces es convergente en x0, es decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x0

Si f(x) es contínua en x0  f(x) = f(x0)

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