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Sucesiones y series de números reales

Criterio de comparación

Sean 4n = 1xn, 4n = 1yn series de términos positivos.

Si se verifica que xn ≤ yn, para todo n (o todo n salvo finitos) y si 4n = 1yn es sumable, entonces 4n = 1xn también lo es.

Por lo mismo, si 4n = 1xn no es sumable, 4n = 1yn tampoco lo es.

• Demostración:

Basta tener en cuenta que x1 + … + xn ≤ y1 + … + yn, y por tanto, (y1 + … + yn) creciente acotada ⇒ (x1 + … + xn) creciente.

En otras palabras, una serie de términos positivos que tiene mayorante sumable, es sumable, y una serie de términos positivos que tiene minorante no sumable, no es sumable.

Este criterio está en la base de todos los criterios de sumabilidad para series de términos positivos.

Criterio de comparación por paso al cociente:

Sean 4n = 1xn, 4n = 1yn series de términos positivos.

Supongamos que se verifica que lim n → 4·xn/yn = a (0 ≤ a ≤ +4)

Entonces:

1°.- Si 0 < a < +4, ambas series son sumables, o ambas son no sumables.

2°.- Si a = 0, 4n = 1yn sumable ⇒ 4n = 1xn sumable, y si 4n = 1xn no sumable ⇒ 4n = 1yn no sumable.

3°.- Si a = +4, al revés que la anterior.

Ejemplo n° 2

En el "criterio de comparación", ver que: basta con que xn ≤ yn se verifique para todos los n ∈ N, salvo finitos.

Indicación: hacer uso del hecho de que si cambiamos finitos términos de una serie, la serie resultante tiene el mismo carácter (sumable o no sumable) que la dada.

• Demostración:

1° De la definición de límite se sigue que ∑ υ ∃ N a/2 < xn/yn < 3a/2 (n > υ) (nota: dado ε = a/2, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ |xn/yn - a| < a/2)

Por tanto, cuando n > υ ⇒ yn < 2/a xn

xn < 3·a/2 yn

Es decir, la serie 4n = 12/a xn es mayorante (salvo finitos) de la 4n = 1yn y la serie 4n = 13·a/2 yn es mayorante (salvo finitos) de la 4n = 1xn

Nótese que cualquiera que sea λ ≠ 0, 4n = 1xn es sumable si sólo si lo es 4n = 1 λ xn

2° De la definición de límite se sigue que ∑ υ ∃ N/n > υ ⇒ xn/yn < 1 basta tomar cualquier n° positivo ⇒ xn < yn (n > υ)

3° De la definición de límite se sigue que, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xn/yn > 1 ⇒ yn < xn (n > υ)

Ejemplos:

La serie 4n = 11/(3·n + 5) no es sumable porque:

lim n → 4·[1/(3·n + 5)]/(1/n) = lim n → 4·n/(3·n + 5) = lim n → 4·1/(3 + 5/n) = ⅓

4n = 11/n no es sumable, esa tampoco.

La serie 4n = 11/(3·n² + 2·n + 1) si es sumable porque, lim n → 4·[1/(3·n² + 2·n + 1)]/(1/n²) = ⅓ y la serie 4n = 11/n² también es sumable.

A la vista está que para aplicar estos criterios es necesario contar con una "bateria" de series cuyo comportamiento (sumabilidad o no) es conocido.

Cuando no existe lim n → 4 xn/yn

• Proposición:

Si 0 < lim n → 4 inf xn/yn ≤ lim n → 4 sup xn/yn < +4 entonces 4n = 1xn es sumable si solo si lo es 4n = 1 y n

• Demostración:

Supongamos que 0 < a = lim n → 4 inf xn/yn ≤ lim n → 4 sup xn/yn = b < +4

→ todos salvo finitos los xn/yn __________________ →

Esquema de una serie sumable mayorante

←____________________todos salvo finitos los xn/yn

De la definición de límite inferior (superior) se sigue que:∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xn/yn > a/2

Es decir, yn < 2/a xn, (n > υ)

∃ υ' ∈ N /n > υ' ⇒ xn/yn < 2·b, es decir, xn < 2·b yn, (n > υ') ⇒

¿Qué ocurre si a = 0 ó b = + 4? (el caso a = b es el de existencia de lim n → 4·xn/yn, ya tratada anteriormente).

• Caso: 0 = a < b < +4 solo tenemos que, ∃ υ' ∈ N /n > υ' ⇒ xn/yn < 2·b, xn < 2·b yn

Es decir, 4n = 1yn sumable ⇒ 4n = 1xn sumable

• Caso: 0 < a < b = +4, sólo tenemos que, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xn/yn > a/2, yn < 2/a xn

Es decir, 4n = 1xn sumable ⇒ 4n = 1yn sumable

• Caso extremo: 0 = a < b = +4 (no tenemos nada)

Ejemplo:

La serie 1 + ½² + 1/√3 + ¼² + 1/√5 + ⅙² + 1/√7 + ……… comparada con la armónica 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ………… de a = 0, b = +4 (lo anterior no dice nada)

Ejemplo n° 3

Compárese con la 4n = 11/n² o con la 4n = 11/√n

Hemos visto "criterios de comparación" (de una serie de términos positivos con otra). Veamos ahora criterios intrínsecos (no aparece en ellos más que la serie, de términos positivos, cuya sumabilidad, o no sumabilidad, queremos conocer. Sin embargo, está "escondido" en ellos un criterio de comparación con series geométricas, que aparecerá en la demostración de las proposiciones).

• Proposición "criterio de cociente o de D'Alembert":

Sea 4n = 1xn una serie de términos positivos, se verifica:

1) Si lim n → 4 sup xn + 1/xn < 1, la serie es sumable

2) Si lim n → 4 inf xn + 1/xn > 1, la serie no es sumable

3) Si lim n → 4 inf xn + 1/xn ≤ 1 ≤ Si lim n → 4 sup xn + 1/xn < 1, el criterio no dice nada (puede ocurrir cualquier cosa)

• Demostración:

1.- Sea lim n → 4 sup xn + 1/xn < 1 y sea a < b < 1

→ todos salvo finitos xn + 1/xn están aquí ← → salvo finitos xn + 1/xn

Esquema de una serie sumable

∑ υ ∃ N /n ≥ υ ⇒ xn + 1/xn < b, es decir, xυ +1 < xυ b

xυ +2 < xυ b < xυ

xυ +3 < …… < xυ

………………………

xυ + k < …… < xυ bk

O sea la serie x1 + x2 + ……… + xυ -1 + xυ + xυb + xυb² + …… que es sumable, salvo finitos términos, geométrica de razón b < 1 es mayorante de la dada ⇒ la dada es sumable.

2.- Supongamos que lim n → 4 inf xn + 1/xn = a > 1 entonces a la izquierda de cualquier entorno de a sólo quedan finitos xn + 1/xn

Es decir, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xn + 1/xn > 1 ⇒ (xn) no → 0

0 < xυ +1 < xυ +2 < xυ +3 < …………… ⇒ 4n = 1xn no es sumable

3.- Para esto basta poner ejemplos:

4n = 11/n no es sumable y le ocurre que lim n → 4·xn + 1/xn = 1

4n = 11/n² si es sumable y le ocurre lo mismo

Este criterio no sirve para estudiar la sumabilidad de series tan importantes como la armónica. Da el caso 3 para toda 4n = 11/np

• Proposición "criterio de la raíz o de Cauchy":

Sea 4n = 1xn una serie de términos positivos y sea a = lim n → 4 sup n√xn, se verifica:

1) Si a < 1, la serie es sumable

2) Si a > 1, la serie no es sumable

3) Si a = 1, puede ocurrir cualquier cosa

• Demostración:

3.- Basta considerar que 4n = 11/n no es sumable y se verifica que

lim n → 4 n√(1/n) = lim n → 4 1/n√n = 1

O que 4n = 11/n² si es sumable y que se verifica que lim n → 4n√(1/n²) = lim n → 4·1/n√n² = 1

1.-

→ finitos n√xn

Sucesiones y series de números reales

Sea a < b < 1. De la definición de límite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos n√xn. Es decir, ∑ υ ∃ N/n > υ ⇒ n√xn < b, xn < bn. Por tanto, la serie

x1 + …… + xυ -1 + bυ + bυ + 1 + ……… + bυ + k + …… es mayorante de la dada, x1 + x2 + x3 …, y sumable (es sumable porque salvo finitos términos es geométrica de razón b y 0 < b < 1). Por tanto la dada es sumable.

2.-

→ infinitos n√xn

Sucesiones y series de números reales

De la definición de lim sup. Se sigue que hay infinitos n√xn que son mayores que 1. Es decir, infinitos xn > 1. Luego (xn) no → 0 ⇒ la serie no es sumable.

Puede probarse que:

lim n → 4 inf xn + 1/xn ≤ lim n → 4 inf n√xn ≤ lim n → 4 sup n√xn ≤ lim n → 4 sup xn + 1/xn

Por consiguiente el criterio de la raíz es mejor que el del cociente.

Puede ocurrir que el del cociente del caso 3 y el de la raíz el caso 1.

Cuando estudiamos la sumabilidad de series armónicas 4n = 11/np (sumable si solo si p > 1) utilizamos un "truco" que puede utilizarse en muchos más casos. (repasarlo)

De hecho puede anunciarse como proposición de la siguiente forma:

• Proposición:

Sea 4n = 1 xn una serie de términos positivos tal que (xn) î 0. La serie es sumable ⇔ la es la 4n = 12n x2

• Demostración:

Es fácil ver por donde va, repasando aquello de las armónicas.

Ejemplo n° 4

Ver que la serie 4n = 11/[n·(log n)p] es sumable ⇔ p > 1

Aplicando dos veces la misma proposición que lo mismo ocurre con 4n = 11/[n·log n (log (log n))p]

Los criterios de sumabilidad que hemos visto para series de términos positivos sirven para estudiar la sumabilidad de series de términos cualesquiera.

Por definición la serie 4n = 1 xn, es absolutamente sumable cuando la serie de términos positivos 4n = 1 |xn| es sumable.

La sumabilidad absoluta es más importante que la ordinaria (las serie absolutamente sumables con las reordenables incondicionalmente sumables).

Los criterios del cociente y la raíz tienen esta forma:

• Proposición:

Sea 4n = 1xn una serie sin ceros, se verifica que:

1) Si lim n → 4 inf |xn + 1/xn| < 1, la serie es absolutamente sumable

2) Si lim n → 4 inf |xn + 1/xn| > 1, la serie no es sumable, (no es sumables y menos absolutamente sumable)

3) Si lim n → 4 inf |xn + 1/xn| ≤ 1 ≤ lim n → 4 sup |xn + 1/xn| puede ocurrir cualquier cosa, que sea absolutamente sumable, que sea sumable pero no absolutamente sumable o que no sea sumable

• Demostración:

1) Ya la hemos visto

2) Recuérdese la correspondiente proposición para serie de términos positivos, véase que, 2 ⇒ (|xn|) no → 0 ⇒ (xn) no → 0

3) Series que verifican:

lim n → 4 |xn + 1/xn| = 1

4n = 1(-1)n/n² absolutamente sumable

4n = 1(-1)n/n sumable no absolutamente sumable

2 - 1 + 2/2 - ½ + ⅔ - ⅓ + 2/4 - ¼ + ⅖ - ⅕ ……………|xn + 1/xn| = (½, 1, ½, 4/3, ½, 3/2, ½, 8/5, ½, ………)

lim n → 4 inf |xn + 1/xn| = ½; lim n → 4 sup |xn + 1/xn| = 2

• Proposición:

Sea 4n = 1xn una serie y sea a = lim n → 4 sup n√|xn| (nótese que xn + 1/xn tiene sentido para todo n, pero n√xn no tiene sentido cuando ……

Se verifica que:

1) Si a < 1 la serie es absolutamente sumable (ya lo sabemos)

2) Si a > 1 la serie no es sumable (ya lo sabemos porque 2 ⇒ (|xn|) no → 0 ⇒ (xn) no → 0)

3) Si a = 1 puede ocurrir cualquier cosa (lo mismos ejemplos de antes)

Estos criterios no sirven para averiguar la "sumabilidad", sirven para averiguar la "absolutamente sumabilidad".

Existen también criterios de sumabilidad de serie de términos cualesquiera.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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