Sucesiones y series de números reales: Criterio de comparación
Criterio de comparación
Sean ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ, ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ series de términos positivos.
Si se verifica que xₙ ≤ yₙ, para todo n (o todo n salvo finitos) y si ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ es sumable, entonces ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ también lo es.
Por lo mismo, si ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ no es sumable, ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ tampoco lo es.
• Demostración:
Basta tener en cuenta que x₁ + … + xₙ ≤ y₁ + … + yₙ, y por tanto, (y₁ + … + yₙ) creciente acotada ⇒ (x₁ + … + xₙ) creciente.
En otras palabras, una serie de términos positivos que tiene mayorante sumable, es sumable, y una serie de términos positivos que tiene minorante no sumable, no es sumable.
Este criterio está en la base de todos los criterios de sumabilidad para series de términos positivos.
Criterio de comparación por paso al cociente:
Sean ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ, ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ series de términos positivos.
Supongamos que se verifica que lim n ⟶ 4·xₙ/yₙ = a (0 ≤ a ≤ +4)
Entonces:
1°.- Si 0 < a < +4, ambas series son sumables, o ambas son no sumables.
2°.- Si a = 0, ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ sumable ⇒ ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ sumable, y si ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ no sumable ⇒ ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ no sumable.
3°.- Si a = +4, al revés que la anterior.
Ejemplo n° 2
En el "criterio de comparación", ver que: basta con que xₙ ≤ yₙ se verifique para todos los n ∈ N, salvo finitos.
Indicación: hacer uso del hecho de que si cambiamos finitos términos de una serie, la serie resultante tiene el mismo carácter (sumable o no sumable) que la dada.
• Demostración:
1° De la definición de límite se sigue que ∑ υ ∃ N a/2 < xₙ/yₙ < 3a/2 (n > υ) (nota: dado ε = a/2, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ |xₙ/yₙ - a| < a/2)
Por tanto, cuando n > υ ⇒ yₙ < 2/a xₙ
xₙ < 3·a/2 yₙ
Es decir, la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁2/a xₙ es mayorante (salvo finitos) de la ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ y la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁3·a/2 yₙ es mayorante (salvo finitos) de la ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ
Nótese que cualquiera que sea λ ≠ 0, ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es sumable si sólo si lo es ⁴∑ₙ ₌ ₁ λ xₙ
2° De la definición de límite se sigue que ∑ υ ∃ N/n > υ ⇒ xₙ/yₙ < 1 basta tomar cualquier n° positivo ⇒ xₙ < yₙ (n > υ)
3° De la definición de límite se sigue que, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xₙ/yₙ > 1 ⇒ yₙ < xₙ (n > υ)
Ejemplos:
La serie ⁴∑ₙ ₌ ₁1/(3·n + 5) no es sumable porque:
lim n ⟶ 4·[1/(3·n + 5)]/(1/n) = lim n ⟶ 4·n/(3·n + 5) = lim n ⟶ 4·1/(3 + 5/n) = ⅓
⁴∑ₙ ₌ ₁1/n no es sumable, esa tampoco.
La serie ⁴∑ₙ ₌ ₁1/(3·n² + 2·n + 1) si es sumable porque, lim n ⟶ 4·[1/(3·n² + 2·n + 1)]/(1/n²) = ⅓ y la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁1/n² también es sumable.
A la vista está que para aplicar estos criterios es necesario contar con una "bateria" de series cuyo comportamiento (sumabilidad o no) es conocido.
Cuando no existe lim n ⟶ 4 xₙ/yₙ
• Proposición:
Si 0 < lim n ⟶ 4 inf xₙ/yₙ ≤ lim n ⟶ 4 sup xₙ/yₙ < +4 entonces ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es sumable si solo si lo es ⁴∑ₙ ₌ ₁ y ₙ
• Demostración:
Supongamos que 0 < a = lim n ⟶ 4 inf xₙ/yₙ ≤ lim n ⟶ 4 sup xₙ/yₙ = b < +4
⟶ todos salvo finitos los xₙ/yₙ __________________ ⟶
←____________________todos salvo finitos los xₙ/yₙ ←
De la definición de límite inferior (superior) se sigue que:∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xₙ/yₙ > a/2
Es decir, yₙ < 2/a xₙ, (n > υ)
∃ υ' ∈ N /n > υ' ⇒ xₙ/yₙ < 2·b, es decir, xₙ < 2·b yₙ, (n > υ') ⇒
- La serie ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es salvo finitos términos y un factor multiplicativo > 0, mayorante de la ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ ⇒
- La serie ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ es salvo finitos mayorante de ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ
¿Qué ocurre si a = 0 ó b = + 4? (el caso a = b es el de existencia de lim n ⟶ 4·xₙ/yₙ, ya tratada anteriormente).
• Caso: 0 = a < b < +4 solo tenemos que, ∃ υ' ∈ N /n > υ' ⇒ xₙ/yₙ < 2·b, xₙ < 2·b yₙ
Es decir, ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ sumable ⇒ ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ sumable
• Caso: 0 < a < b = +4, sólo tenemos que, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ xₙ/yₙ > a/2, yₙ < 2/a xₙ
Es decir, ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ sumable ⇒ ⁴∑ₙ ₌ ₁yₙ sumable
• Caso extremo: 0 = a < b = +4 (no tenemos nada)
Ejemplo:
La serie 1 + ½² + 1/√3 + ¼² + 1/√5 + ⅙² + 1/√7 + ……… comparada con la armónica 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ………… de a = 0, b = +4 (lo anterior no dice nada)
Ejemplo n° 3
Compárese con la ⁴∑ₙ ₌ ₁1/n² o con la ⁴∑ₙ ₌ ₁1/√n
Hemos visto "criterios de comparación" (de una serie de términos positivos con otra). Veamos ahora criterios intrínsecos (no aparece en ellos más que la serie, de términos positivos, cuya sumabilidad, o no sumabilidad, queremos conocer. Sin embargo, está "escondido" en ellos un criterio de comparación con series geométricas, que aparecerá en la demostración de las proposiciones).
• Proposición "criterio de cociente o de D'Alembert":
Sea ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ una serie de términos positivos, se verifica:
1) Si lim n ⟶ 4 sup x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ < 1, la serie es sumable
2) Si lim n ⟶ 4 inf x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ > 1, la serie no es sumable
3) Si lim n ⟶ 4 inf x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ ≤ 1 ≤ Si lim n ⟶ 4 sup x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ < 1, el criterio no dice nada (puede ocurrir cualquier cosa)
• Demostración:
1.- Sea lim n ⟶ 4 sup x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ < 1 y sea a < b < 1
⟶ todos salvo finitos x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ están aquí ← ⟶ salvo finitos x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ
∑ υ ∃ N /n ≥ υ ⇒ x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ < b, es decir, xυ +1 < xυ b
xυ +2 < xυ b < xυ b²
xυ +3 < …… < xυ b³
………………………
xυ + k < …… < xυ bᵏ
O sea la serie x₁ + x₂ + ……… + xυ -1 + xυ + xυb + xυb² + …… que es sumable, salvo finitos términos, geométrica de razón b < 1 es mayorante de la dada ⇒ la dada es sumable.
2.- Supongamos que lim n ⟶ 4 inf x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ = a > 1 entonces a la izquierda de cualquier entorno de a sólo quedan finitos x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ
Es decir, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ > 1 ⇒ (xₙ) no ⟶ 0
0 < xυ +1 < xυ +2 < xυ +3 < …………… ⇒ ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ no es sumable
3.- Para esto basta poner ejemplos:
⁴∑ₙ ₌ ₁1/n no es sumable y le ocurre que lim n ⟶ 4·x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ = 1
⁴∑ₙ ₌ ₁1/n² si es sumable y le ocurre lo mismo
Este criterio no sirve para estudiar la sumabilidad de series tan importantes como la armónica. Da el caso 3 para toda ⁴∑ₙ ₌ ₁1/nᵖ
• Proposición "criterio de la raíz o de Cauchy":
Sea ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ una serie de términos positivos y sea a = lim n ⟶ 4 sup ⁿ√xₙ, se verifica:
1) Si a < 1, la serie es sumable
2) Si a > 1, la serie no es sumable
3) Si a = 1, puede ocurrir cualquier cosa
• Demostración:
3.- Basta considerar que ⁴∑ₙ ₌ ₁1/n no es sumable y se verifica que:
lim n ⟶ 4 ⁿ√(1/n) = lim n ⟶ 4 1/ⁿ√n = 1
O que ⁴∑ₙ ₌ ₁1/n² si es sumable y que se verifica que lim n ⟶ 4ⁿ√(1/n²) = lim n ⟶ 4·1/ⁿ√n² = 1
1)
⟶ finitos ⁿ√xₙ
Sea a < b < 1. De la definición de límite superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos ⁿ√xₙ. Es decir, ∑ υ ∃ N/n > υ ⇒ ⁿ√xₙ < b, xₙ < bⁿ. Por tanto, la serie
x₁ + …… + xυ -1 + bυ + bυ + 1 + ……… + bυ + k + …… es mayorante de la dada, x₁ + x₂ + x₃ …, y sumable (es sumable porque salvo finitos términos es geométrica de razón b y 0 < b < 1). Por tanto la dada es sumable.
2)
⟶ infinitos ⁿ√xₙ
De la definición de lim sup. Se sigue que hay infinitos ⁿ√xₙ que son mayores que 1. Es decir, infinitos xₙ > 1. Luego (xₙ) no ⟶ 0 ⇒ la serie no es sumable.
Puede probarse que:
lim n ⟶ 4 inf x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ ≤ lim n ⟶ 4 inf ⁿ√xₙ ≤ lim n ⟶ 4 sup ⁿ√xₙ ≤ lim n ⟶ 4 sup x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ
Por consiguiente el criterio de la raíz es mejor que el del cociente.
Puede ocurrir que el del cociente del caso 3 y el de la raíz el caso 1.
Cuando estudiamos la sumabilidad de series armónicas ⁴∑ₙ ₌ ₁1/nᵖ (sumable si solo si p > 1) utilizamos un "truco" que puede utilizarse en muchos más casos. (repasarlo)
De hecho puede anunciarse como proposición de la siguiente forma:
• Proposición:
Sea ⁴∑ₙ ₌ ₁ xₙ una serie de términos positivos tal que (xₙ) î 0. La serie es sumable ⇔ la es la ⁴∑ₙ ₌ ₁2ⁿ x₂
• Demostración:
Es fácil ver por donde va, repasando aquello de las armónicas.
Ejemplo n° 4
Ver que la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁1/[n·(log n)ᵖ] es sumable ⇔ p > 1
Aplicando dos veces la misma proposición que lo mismo ocurre con ⁴∑ₙ ₌ ₁1/[n·log n (log (log n))ᵖ]
Los criterios de sumabilidad que hemos visto para series de términos positivos sirven para estudiar la sumabilidad de series de términos cualesquiera.
Por definición la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁ xₙ, es absolutamente sumable cuando la serie de términos positivos ⁴∑ₙ ₌ ₁ |xₙ| es sumable.
La sumabilidad absoluta es más importante que la ordinaria (las serie absolutamente sumables con las reordenables incondicionalmente sumables).
Los criterios del cociente y la raíz tienen esta forma:
• Proposición:
Sea ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ una serie sin ceros, se verifica que:
1) Si lim n ⟶ 4 inf |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| < 1, la serie es absolutamente sumable
2) Si lim n ⟶ 4 inf |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| > 1, la serie no es sumable, (no es sumables y menos absolutamente sumable)
3) Si lim n ⟶ 4 inf |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| ≤ 1 ≤ lim n ⟶ 4 sup |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| puede ocurrir cualquier cosa, que sea absolutamente sumable, que sea sumable pero no absolutamente sumable o que no sea sumable
• Demostración:
1) Ya la hemos visto
2) Recuérdese la correspondiente proposición para serie de términos positivos, véase que, 2 ⇒ (|xₙ|) no ⟶ 0 ⇒ (xₙ) no ⟶ 0
3) Series que verifican:
lim n ⟶ 4 |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| = 1
⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ/n² absolutamente sumable
⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ/n sumable no absolutamente sumable
2 - 1 + 2/2 - ½ + ⅔ - ⅓ + 2/4 - ¼ + ⅖ - ⅕ ……………|x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| = (½, 1, ½, 4/3, ½, 3/2, ½, 8/5, ½, ………)
lim n ⟶ 4 inf |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| = ½; lim n ⟶ 4 sup |x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ| = 2
• Proposición:
Sea ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ una serie y sea a = lim n ⟶ 4 sup ⁿ√|xₙ| (nótese que x₍ₙ ₊ ₁₎/xₙ tiene sentido para todo n, pero ⁿ√xₙ no tiene sentido cuando ……
Se verifica que:
1) Si a < 1 la serie es absolutamente sumable (ya lo sabemos)
2) Si a > 1 la serie no es sumable (ya lo sabemos porque 2 ⇒ (|xₙ|) no ⟶ 0 ⇒ (xₙ) no ⟶ 0)
3) Si a = 1 puede ocurrir cualquier cosa (lo mismos ejemplos de antes)
Estos criterios no sirven para averiguar la "sumabilidad", sirven para averiguar la "absolutamente sumabilidad".
Existen también criterios de sumabilidad de serie de términos cualesquiera.
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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