Sucesiones y series de números reales: Subsucesión de una sucesión
Concepto de subsucesión de una sucesión
Por definición, una sucesión de números reales es una aplicación de N en ℜ, n ⟶ xₙ
Supongamos que la aplicación n ∈ N ⟶ φ(n) ∈ N es estrictamente creciente, es decir, tal que n < m ⇒ φ(n) < φ(m). Entonces la sucesión:
N ⟶ φ(n) ⟶ x(φ(n)) = xₙ
Es una subsucesión de la dada.
Esto significa que una subsucesión de (x₁, x₂, x₃, …) es "lo que queda de ella" después de quitar finitos o infinitos términos, siempre que queden infinitos. Por ejemplo, subsucesiones de (x₁, x₂, x₃, ……) son:
(x₄, x₅, x₆, ……)
(x₁, x₃, x₅, ……)
(x₂, x₆, x₁₀, x₁₄, ……)
Ejemplo:
• Ver que a es valor de adherencia de (xₙ) si y sólo si a es límite de alguna subsucesión de (xₙ)
Si a ∈ A, evidente, a es límite de la subsucesión (a, a, a, …)
Si a ∉ A, entonces a es punto de acumulación de los términos de alguna subsucesión, por lo tanto, es valor de adherencia de xₙ
• Ver que toda sucesión acotada tiene alguna subsucesión convergente (corolario de la anterior)
• Ver que una sucesión monótona es convergente si sólo si es convergente una de sus subsucesiones
Las series son una especie de "suma infinita".
Dijimos ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es sumable cuando es convergente la sucesión de sumas parciales (sₙ) = (s₁, s₂, s₃, ……) = (x₁, x₁ + x₂, x₁ + x₂ + x₃, ……)
Lo que nos preguntamos ahora es si estas "sumas infinitas", que son la series, son "asociativas" o "conmutativas" como las sumas finitas de números reales.
La respuesta, en general, es no.
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ………
⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ No es sumable porque ((-1)ⁿ) no ⟶ 0
Aunque no supiéramos eso, es trivial que no es sumable, porque su sucesión de sumas parciales, (1, 0, 1, 0, ……) no es convergente.
Sin embargo, asociando así: (1-1) + (1-1) + (1-1) + ……… La serie que resulta es la 0+0+0+ … trivialmente sumable.
1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ………, la sucesión que resulta, 1+0+0+0+ …… también es sumable, pero de suma 1.
• Proposición:
Si ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es sumable, entonces como quiera que asociemos sus términos, la serie resultante también es sumable y con la misma suma. (Sí podemos meter paréntesis en las series sumables).
• Demostración:
Supongamos que:
x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ + x₇ + x₈ + x₉ + ………
Es sumable. Esto significa que la sucesión de sumas parciales (sₙ) = (x₁, x₁ + x₂, x₁ + x₂ + x₃, x₁ + x₂ + x₃ + x₄, ……) es convergente.
Introduzcamos esos paréntesis:
x₁ + (x₂ + x₃) + x₄ + (x₅ + x₆ + x₇) + x₈ + x₉ + …………
La sucesión de sumas parciales de la serie resultante es (s₁, s₃, s₄, s₇, s₈, s₉, ……). Es decir, una subsucesión de (s₁, s₂, s₃, ……) que como ésta es convergente y con el mismo límite.
Reordenación de series:
Dada una serie ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ y una biyección f:N ⟶ N, la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁xf(n) se llama reordenada de aquella.
Se dice que esa serie es incondicionalmente sumable cuando toda biyección f:N ⟶ N ⁴∑ₙ ₌ ₁xf(n) es sumable y con la misma suma que ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ
Una serie incondicionalmente sumable es una serie en la que la suma infinita es conmutativa.
Ejemplo n° 1
Ver que si ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es sumable y si f:N ⟶ N es una biyección, tal que f(n) = n, para todos los n ∈ N, salvo finitos, entonces ⁴∑ₙ ₌ ₁xf(n) también es sumable y con la misma suma.
Consideramos la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ ⁺ ¹/n (es lo que se llama una serie alternada: los signos de sus términos son +, -, +, -, +, -,+, ……)
1 - ½ + ⅓ - ¼ + ⅕ - ⅙ + ………
Por ser alternada y verificarse que (1/n) î 0 es fácil ver que esta serie es numerable (es la serie de valores absolutos de los términos).
(serie armónica alternada es sumable)
s₁ = 1
s₂ = 1 - ½; s₂ < s₄ < s₆ < …… < s₅ < s₃ < s₁
s₃ = 1 - ½ + ⅓
s₄ = 1 - ½ + ⅓ - ¼
Luego existen sup {s₂.ₙ/n ∈ N} es acotado superiormente por cualquier (s₍₂.ₙ ₊ ₁₎) y no vacío. Inf {s₍₂.ₙ ₊ ₁₎ /n ∈ N} es acotado inferiormente, por cualquier (s₂.ₙ) y no vacío. Además s₍₂.ₙ ₊ ₁₎ - s₂.ₙ = x₍₂.ₙ ₊ ₁₎ ⟶ n ⟶ 4 0 ⇒ sup {s₂.ₙ} = inf {s₍₂.ₙ ₊ ₁₎} = la suma de la serie. Además su suma es log 2.
Estos mismos argumentos sirven para ver que toda serie alternada ⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ xₙ tal que (xₙ) î 0 es sumable (ejercicio).
Por otra parte sabemos que la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁1/n no es sumable ("suma" +4). Por tanto las series ⁴∑ₙ ₌ ₁½·n, ⁴∑ₙ ₌ ₁1/(2·n - 1) no son sumables.
½ + ¼ + ⅙ + ………………} Simplemente basta tener en cuenta que las sumas parciales 1 + ⅓ + ⅕ + ⅐ + ………} de ½ + ¼ + ⅙ + … son ½ de las sumas parciales de 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ……, éstas van a +4 ⇒ aquellas también.
Análogamente, se vería el caso de 1 + ⅓ + ⅕ +
Supuesto lo anterior, podemos considerar la serie dada ⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ/n de forma que deje de ser sumable o sume lo que no de la gana (por ejemplo 278)
Reordenemos esa serie de forma que sume 278.
Como ⁴∑ₙ ₌ ₁1/(2·n - 1) "suma" +4, podemos encontrar n ∈ N tal que:
1 + ⅓ + ⅕ + ………… +1/(2·n - 1) ≤ 278 < 1 + ⅓ + ……… + 1/(2·n - 1) + ½·n
Sea n₂ ∈ N tal que:
1 + ⅓ + … + ½·n₁ - ½ - ¼ - … -1/(2·n₂-2) ≥ 278 > 1 + ⅓ + … + ½·n₁ - ½ - ¼ - … - ½·n₂
Empezamos a sumar impares hasta sobrepasa 278, en ese momento restamos 1/n's (n par) hasta volver a la izquierda de 278. En ese momento sumamos 1/n's, n impar, hasta volver a la derecha de 278, …………… Es fácil ver que esta reordenación de la serie dada es sumable, con suma 278, lo que se utiliza en todo esto es que ∑"impares" = +4 y ∑"pares" = -4.
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).