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Sucesiones y series de números reales

Concepto de subsucesión de una sucesión

Por definición, una sucesión de números reales es una aplicación de N en ℜ, n → xn

Supongamos que la aplicación n ∈ N → φ(n) ∈ N es estrictamente creciente, es decir, tal que n < m ⇒ φ(n) < φ(m). Entonces la sucesión:

N → φ(n) → x(φ(n)) = xn

Es una subsucesión de la dada.

Esto significa que una subsucesión de (x1, x2, x3, …) es "lo que queda de ella" después de quitar finitos o infinitos términos, siempre que queden infinitos. Por ejemplo, subsucesiones de (x1, x2, x3, ……) son:

(x4, x5, x6, ……)

(x1, x3, x5, ……)

(x2, x6, x10, x14, ……)

Ejemplo:

• Ver que a es valor de adherencia de (xn) si y sólo si a es límite de alguna subsucesión de (xn)

Si a ∈ A, evidente, a es límite de la subsucesión (a, a, a, …)

Si a ∉ A, entonces a es punto de acumulación de los términos de alguna subsucesión, por lo tanto es valor de adherencia de xn

• Ver que toda sucesión acotada tiene alguna subsucesión convergente (corolario de la anterior)

• Ver que una sucesión monótona es convergente si sólo si es convergente una de sus subsucesiones

Las series son una especie de "suma infinita".

Dijimos 4n = 1xn es sumable cuando es convergente la sucesión de sumas parciales (sn) = (s1, s2, s3, ……) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, ……)

Lo que nos preguntamos ahora es si estas "sumas infinitas", que son la series, son "asociativas" o "conmutativas" como las sumas finitas de números reales.

La respuesta, en general, es no.

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ………

4n = 1(-1)n No es sumable porque ((-1)n) no → 0

Aunque no supiéramos eso, es trivial que no es sumable, porque su sucesión de sumas parciales, (1, 0, 1, 0, ……) no es convergente.

Sin embargo, asociando así: (1-1) + (1-1) + (1-1) + ……… La serie que resulta es la 0+0+0+ … trivialmente sumable.

1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + ………, la sucesión que resulta, 1+0+0+0+ …… también es sumable, pero de suma 1.

• Proposición:

Si 4n = 1xn es sumable, entonces como quiera que asociemos sus términos, la serie resultante también es sumable y con la misma suma. (Sí podemos meter paréntesis en las series sumables).

• Demostración:

Supongamos que:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + ………

Es sumable. Esto significa que la sucesión de sumas parciales (sn) = (x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3 + x4, ……) es convergente.

Introduzcamos esos paréntesis:

x1 + (x2 + x3) + x4 + (x5 + x6 + x7) + x8 + x9 + …………

La sucesión de sumas parciales de la serie resultante es (s1, s3, s4, s7, s8, s9, ……). Es decir, una subsucesión de (s1, s2, s3, ……) que como ésta es convergente y con el mismo límite.

Reordenación de series:

Dada una serie 4n = 1xn y una biyección f:N → N, la serie 4n = 1xf(n) se llama reordenada de aquella.

Se dice que esa serie es incondicionalmente sumable cuando toda biyección f:N → N 4n = 1xf(n) es sumable y con la misma suma que 4n = 1xn

Una serie incondicionalmente sumable es una serie en la que la suma infinita es conmutativa.

Ejemplo n° 1

Ver que si 4n = 1xn es sumable y si f:N → N es una biyección, tal que f(n) = n, para todos los n ∈ N, salvo finitos, entonces 4n = 1xf(n) también es sumable y con la misma suma.

Consideramos la serie 4n = 1(-1)n + 1/n (es lo que se llama una serie alternada: los signos de sus términos son +, -, +, -, +, -,+, ……)

1 - ½ + ⅓ - ¼ + ⅕ - ⅙ + ………

Por ser alternada y verificarse que (1/n) î 0 es fácil ver que esta serie es numerable (es la serie de valores absolutos de los términos).

Esquema de una serie armónica sumable (serie armónica alternada es sumable)

s1 = 1

s2 = 1 - ½; s2 < s4 < s6 < …… < s5 < s3 < s1

s3 = 1 - ½ + ⅓

s4 = 1 - ½ + ⅓ - ¼

Luego existen sup {s2·n/n ∈ N} es acotado superiormente por cualquier (s2·n + 1) y no vacío. Inf {s2·n + 1 /n ∈ N} es acotado inferiormente, por cualquier (s2·n) y no vacío. Además s2·n + 1 - s2·n = x2·n + 1 → n → 4 0 ⇒ sup {s2·n} = inf {s2·n + 1} = la suma de la serie. Además su suma es log 2.

Estos mismos argumentos sirven para ver que toda serie alternada 4n = 1(-1)n xn tal que (xn) î 0 es sumable (ejercicio).

Por otra parte sabemos que la serie 4n = 11/n no es sumable ("suma" +4). Por tanto las series 4n = 1½·n, 4n = 11/(2·n - 1) no son sumables.

½ + ¼ + ⅙ + ………………} Simplemente basta tener en cuenta que las sumas parciales 1 + ⅓ + ⅕ + ⅐ + ………} de ½ + ¼ + ⅙ + … son ½ de las sumas parciales de 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ……, éstas van a +4 ⇒ aquellas también.

Análogamente, se vería el caso de 1 + ⅓ + ⅕ +

Supuesto lo anterior, podemos considerar la serie dada 4n = 1(-1)n/n de forma que deje de ser sumable o sume lo que no de la gana (por ejemplo 278)

Reordenemos esa serie de forma que sume 278.

Como 4n = 11/(2·n - 1) "suma" +4, podemos encontrar n ∈ N tal que:

1 + ⅓ + ⅕ + ………… +1/(2·n - 1) ≤ 278 < 1 + ⅓ + ……… + 1/(2·n - 1) + ½·n

Sea n2 ∈ N tal que:

1 + ⅓ + … + ½·n1 - ½ - ¼ - … -1/(2·n2-2) ≥ 278 > 1 + ⅓ + … + ½·n1 - ½ - ¼ - … - ½·n2

Empezamos a sumar impares hasta sobrepasa 278, en ese momento restamos 1/n's (n par) hasta volver a la izquierda de 278. En ese momento sumamos 1/n's, n impar, hasta volver a la derecha de 278, …………… Es fácil ver que esta reordenación de la serie dada es sumable, con suma 278, lo que se utiliza en todo esto es que ∑"impares" = +4 y ∑"pares" = -4.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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