Superficie de nivel
Vector tangente
Definición:
Dada C ⊂ ℜn (C curva de ℜn) una curva regular, entonces el vector g'(t0) es tangente a la curva en el punto g(t0) siendo x = g(t), t ⊂ A, la ecuación vectorial de la curva, y t0 ⊂ A.
F'(t0) = | lim h → 0 | F'x(t0 + h) - F'x(t0) |
h |
Nota: estamos con una sola variable.
Recta tangente
La curva se confunde con la recta tangente en el punto dado. En ℜ² y en ℜ³: x = λ g' + g(t0), λ ⊂ ℜ
Plano normal en ℜ³
Ecuación vectorial:
g'(t0)·(x - g(t0)) = 0
g1'(t0)·(x - g1(t0)) + g2'(t0)·(y - g2(t0)) + g3'(t0)·(z - g3(t0)) = 0
Gradiente:
Se define solo para campos escalares, F A ⊂ ℜn → ℜ
Grad(F)(x0) = ∇F(x0) = [∂F(x0)/∂x1, ∂F(x0)/∂x2, …, ∂F(x0)/∂xn,]
Dom (∇F) = dom (F'x1) ∩ dom (F'x2) ∩ … dom (F'xn) ⊂ dom (F)
∇F:B ⊂ ℜn → ℜn
Derivadas de orden superior (parciales)
Definiciones:
Dada F:A ⊂ ℜ² → ℜ, F ⊂ C² (clase 2), se define:
F"(x0, y0) = | ∂(∂F)·(x0, y0) |
∂(∂F) |
∂²F | = | lim h → 0 | F'x(x0 + h, y0) - F'x(x0, y0) |
∂x² | h |
Las derivadas que tienen las mismas letras son iguales: F‴xxy = F‴xyx = F‴yxx
Dominios:
Dom (F'x) ⊂ Dom (F)
Dom (F'y) ⊂ Dom (F)
Dom (F"yx) ⊂ Dom (F'x) ⊂ Dom (F)
Dom (F"yx) ⊂ Dom (F'y) ⊂ Dom (F)
Teorema de Schwartz
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, x0 ⊂ A, entonces si ∃ F"xy(x) ∀ x ⊂ E(x0) y F"yx(x) ∀ x ⊂ E(x0) y F"xy contínua en E(x0) y F"yx contínua en E(x0), debe ser F"xy (x0) = F"yx (x0)
Generalmente pasa para funciones contínuas
Extensión a mayor orden
Tomo F:A ⊂ ℜn → ℜ, suponemos derivadas parciales de cualquier orden contínuas.
Entonces:
a) Por el teorema de Schwartz ⇒ F"xy = F"yx
Luego F‴xyx = F‴yxx, por ser la derivada de la misma función.
b) Tomamos F'x, por teorema de Schwartz F‴xxy = F‴xyx
c) Finalmente, por a y b resulta: F‴xxy = F‴xyx = F‴yxx
Ejemplo n° 4
F(x, y) = ex·y
F'x = y·ex·y
F'y = x·ex·y
F"xx = y²·ex·y
F"yy = x²·ex·y
F"xy = ex·y + y·x·ex·y
F"yx = ex·y + x·y·ex·y
F‴xxy = 2·y·ex·y + y²·x·ex·y
F‴xyx = 2·y·ex·y + y²·x·ex·y
F‴yxx = 2·y·ex·y + y²·x·ex·y
Diferenciabilidad:
Definición:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜn, x0 ⊂ A, A abierto, se dice que F es diferenciable en x0 si ∃ D(x0) ⊂ ℜm×n tal que:
lim x → x0 | F(x) - F(x0) - dF(x0)·(x - x0) | = 0 |
|x - x0| |
F'((a, b), ř) = ∇F(a, b)·ř (Si F es diferenciable)
Propiedades:
F es F, G es G y x0 es x0
1) F y G diferenciables en x0 ⇒ F + G diferenciables en x0
2) F diferenciable en x0 ⇒ λ F diferenciable en x0
3) F y G diferenciables en x0 ⇒ FG diferenciable en x0
4) F diferenciable en x0 y F(x0) ≠ 0 ⇒ 1/F diferenciable en x0
5) F diferenciable en x0 y g diferenciable en F(x0) ⇒ g0F diferenciable en x0
6) F diferenciable en x0 ⇔ Fi diferenciable en x0, 1 ≤ i ≤ m
Teorema:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, x0 ⊂ A, tal que F es diferenciable en x0, entonces F es contínua en x0
Corolario:
Si F no es contínua en x0 ⇒ F no es diferenciable en x0
Teorema:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, x0 ⊂ A, tal que F es diferenciable en x0, entonces ∃ F'(x0, ř), ∀ ř ⊂ ℜn (existe la derivada en cualquier dirección).
Corolario:
1) Si para algún ř ⊂ ℜn no ∃ F'(x0, ř) ⇒ F no es diferenciable en x0
2) Si para algún ř ⊂ ℜn ∃ F'(x0, ř) pero F'(x0, ř) ≠ dF(x0) ř ⇒ F no es diferenciable en x0
La matriz dF(x0) es la matriz de las derivadas parciales de F en x0. Se llama matriz Jacobiano.
Ejemplo n° 5
F(x, y) = (x·y², x²·ey)
dF = | y² | 2·x·y | = | 1 | 2 |
2·x·ey | x²·ey | 3 | 4 |
Siendo:
1) La derivada con respecto a x de x·y²
2) La derivada con respecto a y de x·y²
3) La derivada con respecto a x de x²·ey
4) La derivada con respecto a y de x²·ey
2)
F( | x | , | y | , | z | ) = ( | x·y + z | , | xy² | ) |
↑ | ↑ | ↑ | ↑ | ↑ | ||||||
Cantidad columnas | Cantidad filas |
Plano tangente al gráfico de F en el punto (x0, y0, F(x0, y0))
Zt = F(x0) + F'(x0) (x - x0) + F'y(x0) (y - y0). Luego: F(x) ≈ Zt, x ⊂ E(x0)
Análisis de Continuidad
lim x → 0 | x²·y | = | lim x → 0 | y· | x² | = 0; |
x² + y² | x² + y² |
x² ≤ x² + y² → hace acotada.
Análisis de Derivabilidad
Aplicación a superficies
Superficie:
Definición:
Dada G, A ⊂ ℜ² → ℜ³, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de G. Dicha superficie tendrá la ecuación vectorial x = G(u; w); (u; w) ⊂ A
Clasificación de funciones:
1) F ⊂ C° (o es de clase C°) contínua
2) F ⊂ C¹ (o es de clase C¹): tiene derivadas parciales contínuas
3) F ⊂ C² (o es de clase C²): tiene derivadas parciales de segundo orden contínuas
∞)F ⊂ C∞ (o es de clase C∞): tiene derivadas parciales de todo orden contínuas.
Propiedad:
Si F es de una clase también es de todas las clases inferiores.
Teorema:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, tal que F ⊂ C¹ en E(x0) ⇒ F es diferenciable en x0
Punto regular:
Dado S ⊂ ℜ³ una superficie de ecuación vectorial x = G(u; w), se dice que el punto x0 = G(u0; w0) ⊂ S es regular si:
a)
∃ G'u (u0; w0) ∧ ∃ G'w (u0; w0)
b)
G'u (u0; w0)×G'w (u0; w0) ≠ 0 (No paralelos)
Si todos los puntos de una S son regulares, es una superficie regular, si además los G'u y G'w no colinan es una S lisa o suave.
Teorema:
Dada A ⊂ ℜ² → ℜ, A abierto, F es diferenciable en x0 ⊂ A ⇒ el gráfico de F es una superficie regular en el punto (x0, y0, F(x0, y0))
Si F diferenciable: vector normal: (-F'u, -F'w, 1) o (F'u, F'w, -1)
Plano tangente a una superficie
Definición:
Dada S ⊂ ℜ³ una superficie regular de ecuación vectorial x = G(u, w), (u, w) ⊂ A ℜ², se define el plano tangente a S en le punto A = G(u0, w0) como:
G'u (u0, w0)×G'w (u0, w0)·(x - G u0, w0)) = 0
Teorema:
Dada F A ⊂ ℜ² → ℜ, A abierto, F diferenciable en x0 ⊂ A, entonces la ecuación del plano tangente al gráfico de F en el punto (x0, y0, F(x0, y0)) es:
Z = F(x0, y0) + F'x (x0, y0) (x - x0) + F'y (x0, y0) (y - y0)
Observación:
Con el mismo vector G'u×G'w se puede definir la recta normal a S:
x = λ (G'u (u0, w0)×G'(u0, w0)), λ ⊂ ℜ
O bien la recta normal al gráfico de F.
x = λ (-F'x (x0, w0), -F'y(x0, y0), 1) + (x0, y0, F(x0, y0)), λ ⊂ ℜ
Composición de funciones:
Teorema:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, diferenciable en A, G:b ⊂ ℜm → ℜp, diferenciable en b, con F(A) ⊂ b, entonces:
D(g o f)(x0) = Dg(f(x0)). Df(x0), x0 ⊂ A. Se usan matrices Jacobiano.
Corolario:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, diferenciables en A, entonces ∇ f(x0) es perpendicular al conjunto de nivel f(x) = f(x0), en le punto x0
R²: ∇F(G(t)) ˆ G'(t)
ℜ³: ∇F(G(u, w)) ˆ al plano tangente a la superficie de nivel en el punto G(u, w)
Regla práctica para derivar:
F = F(u, w) | u | x → h'x = F'u·u'x + F'w·w'x | |||
u = u(x, y) | resulta F | ╱ ╲ | ╳ | ||
w = w(x, y) | h(x, y) | w | y → h'y = F'u·u'y + F'w·w'y |
Con todos los caminos posibles que conducen a la variable de derivación x x = (x, y)·(x, y) = x² + y² = |x|²
Para diferenciablidad:
lim x → 0 | F(x) - F(0) - ∇F(0)·(x - 0) |
|x - 0| |
"Como el gráfico de F tiene recta normal en (1, 0, 1) entonces F es diferenciable en (1, 0)
Funciones definidas en forma explícita:
Teorema:
F(x0, y0) = 0 ∧ F'y(x0, y0) ≠ 0 ⇒ F(x, y) = 0 define localmente en forma implícita una única función Y = Y(x) tal que:
a) y(x0) = y0
b) y(x0) = | Fx(x0, y0) |
Fy(x0, y0) |
Z = f(x, y)
x + y·z - ez = 0 → F(x, y, z)
F'z = y - ez
Z'x = | -F'x | = | -1 |
F'z | y - ez |
Z"xx = | -ez·z'x | = | -ez | ·z'x = | F'y |
(y - ez)² | (y - ez)³ | F'z |
Extremos:
Absoluto: F(a) ≥ F(x) ∀ x Local: F(a) ≥ F(x) ∀ x ⊂ E(a)
Observación:
Punto frontera solo puede ser extremos absoluto.
Teorema:
Si existe la derivada con respecto a un vector en un extremo entonces es cero.
Observación:
a) Si para algún versor la derivada da ≠ 0 ⇒ no es extremo local
b) Si no ∃ F'(a, ř) ⇒ nada puede asegurarse
Teorema:
F diferenciable /F(a) es extremo local, entonces debe ser ∇F(a) = 0 (punto crítico o estacionario)
Teorema:
F diferenciable /∇F(a) = 0 ⇒ F(a) es punto silla F(x1) ≤ F(a) ≥ F(x2)
Matriz Hesiano:
F ⊂ C² /∇F(a) = 0
F" xx(a) | F" xy(a) | det H(a) > 0 y F" xy(a) < 0 Υ F" yy(a) > 0 ⇒ F(a) es mínimo local | |
H(a) = | F" xy(a) | F" yy(a) | det H(a) > 0 y F" xx(a) < 0 Υ F" yy(a) < 0 ⇒ F(a) es máximo local |
det H(a) < 0 ⇒ F(a) punto silla | |||
det H(a) = 0 nada se sabe |
Casos de funciones escalares diferenciables
Derivadas máximas: ř máxima = ∇F(x0); ř min = -∇F(x0)
En ℜ²: ř 0 = (F'y(x0), - F'x (x0)) ř 0 = (-F'y(x0), F'x (x0))
F'(x0, ř máxima) = |∇F(x0)| F'(x0, ř min) = -|∇F(x0)|
Desarrollo de Taylor: ℜ² → ℜ: a = (a1, a2)
F(x, y) = F(a1, a2) + F'x(a) (x - a1) + F'y(a) (y - a2) +
+ | d² | + |
½[F" xx(a) (x - a1)² + F" yy(a) (y - a2)² + 2·F" xy(a) (x - a1) (y - a2)] |
+ | ⅙[F‴ xxy(a) (x - a1)³ + F‴(a) (y - a2)³ + 3·F‴ xxy(a) (x - a1)²·(y - a2) + 3·F‴ yyx(a) (x - a1)·(y - a2)²] | |
d³ |
Extremos condicionados:
Teorema de Lagrange (Para puntos críticos)
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, A abierto, f ⊂ C² y dadas Fi:A ⊂ ℜn — ℜ, Fi ⊂ C², 1 ≤ i ≤ n con m < n.
Entonces los extremos locales de F sujetos a las condiciones Fi(x) = 0, 1 ≤ i = m, se pueden obtener estudiando los extremos locales de la siguiente función.
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Autor: Marcelo Ariel Jusid
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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