Superficie de nivel

Conjuntos:

Abierto: Es aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).

Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.

Acotado: R es acotado si ∃ k > 0 / R ⊂ E (0, k)

Compacto: cerrado y acotado.

Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.

Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo:

Funciones:

F:A ⊂ ℜ^m →, m > 1 campo vectorial

F:A ⊂ ℜⁿ → R, m = 1 campos o funciones escalares

Conjunto de nivel (para campos escalares):

Definición: dada F:A ⊂ ℜⁿ → R y k ⊂ R, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F(x) = k

Para f:A ⊂ ℜ² → R: F(x, y) = k = > curva de nivel

Para f:A ⊂ ℜ³ → R: F(x, y, y) = k = > superficie de nivel

Interpretación geométrica: El conjunto de nivel k de una función de 2 variables x e y es la sombra o la proyección de la curva que resulta de intersectar el gráfico de la función con el plano z = k.

Superficie de nivel:

F(x, y, y) = k

Ejemplos:

⇒ Si varío k, varío el origen del plano (lo desplazo)

A medida que varío k me van quedando planos paralelos.

Ejemplos:

F(x, y) = y - 2·x, x ⊂ ℜ²

Planteo F(x, y) = k, k ⊂ R ⇒ y - 2·x = k ⇒ y = 2·x + k

F(x, y, y) = z - x² - y² - 4

Planteo F(x, y, y) = k ⇒ z - x² - y² - 4 = k ⇒ z = x² + y² + 4 + k

Parametrizaciones: Curvas en ℜ²

a) F(x) = x², x ⊂ [-1, 4]

La función g:[-1, 4] → ℜ² se denomina parametrización del gráfico de F y está definida por: g(t) = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

b) F(x) = 2·x + 1, x ⊂ R ecuación cartesiana y = 2·x + 1, x ⊂ R.

Parametrización: intento x = t ⇒ y = 2·t + 1} g(t) = (t, 2·t + 1), t ⊂ R

X = (t, 2·t + a), t ⊂ R ecuación vectorial.

Parametrización de una circunferencia:

Observación: para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]

Curva: Definición: Dada una función g:[a, b] ⊂ R → ℜⁿ, contínua, se llama curva al conjunto imagen de g

Curva no completa = arco de curva.

Curvas en ℜ³

Superficie: Definición: Dada una función g: A ⊂ ℜ² → ℜⁿ, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de g

Limites: Propiedades:

6) si   F(x) = b ∧ g(y) = L ⇒   (g o F)(x) = L

7) si   F(x) = L ⇔   F_i(x) = L_i, 1 ≤ i ≤ m; (se acercan las componentes).

Limites por curvas: Si no ∃ el lim para alguna curva parametrizada por g tal que g(t₀) = A ⇒ no ∃   F(x)

Ejemplo: (x - y - 2)/(x - 1)

Tomo y = 1 ⇒  (x - 1)/(x - 1) = 1

Tomo x = 1 ⇒ (y - 1)/(1 - y) = -1

Luego, no existe F(x, y) = 1

Obs: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.

Recordar: |x| ≤ |x| ⇒ x² ≤ x² + y² ⇒ x²/(x² + y²) ≤ 1

Continuidad:

5) F contínua en x₀ y G contínua en F(x₀) ⇒ (G₀F) contínua en x₀

6) F contínua en x₀ < = > F_i contínua en x₀, 1 ≤ i ≤ m

Tipos de discontinuidad:

1) Esencial: cuando no existe   F(x)

2) Evitable: cuando existe el lim pero no F(x₀) o bien ∃ F(x₀) pero lim ≠ F(x₀)

Derivabilidad: Definición: derivada direccional: dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, x₀ y ř ⊂ ℜⁿ, se define la derivada direccional de F en x₀ según el versor ř como:

F´(x₀,γ) =   [F(x₀ + h·γ) - F(x₀)]/h = ∂F(x₀)/∂γ

Propiedades: principio de homogeneidad: F´(x₀, λ ř) = λ F´(x₀, ř), λ ≠ 0, λ ⊂ R

Propiedad 2: Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.

Derivadas parciales: caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base canónica.

Regla práctica de calculo:

1) F(x, y) = ln (x² + y²)

F´_x(x, y) = 2·x/(x² + y²)

F´_y(x, y) = 2·y/(x² + y²)

Dom (F´_x) I Dom (F)

Observación: La derivada de un vector es la derivada de las componentes.

Interpretación geométrica:

Válida para F:A ⊂ ℜ² → R

F´(x₀, y₀) =   [F(x₀ + h, y₀) - F(x₀, y₀)]/h = tg α

Teorema del valor medio:

a) Dada F:[a, b] → R, contínua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ⊂ (a, b) tal que:

F(b) - F(a) = F´(c)·(b - a)

b) Dada F:A ⊂ ℜⁿ → R, A abierto y convexo, F ⊂ C¹, a ⊂ A y b ⊂ A, entonces:

F(b) - F(a) = F´(c, b - a) = F´(c, ř) |b - a|, γ = (b - a)/|b - a|, c ⊂ segmento a b,

c ≠ a y c ≠ b

Aplicaciones a curvas: Definición: Punto regular: Dada C curva de ℜⁿ, de ecuación vectorial x = g(t) t ⊂ A, se dice que A ⊂ C, A = g(t₀), es un punto regular de C si: a) ∃ g´(t₀) y b) g´(t₀) ≠ 0

Observaciones:

1. Si un punto no es regular se lo llama singular
2. Si una curva tiene todos los puntos regulares ⇒ es regular

Vector tangente

Definición: Dada C c ℜⁿ (C curva de ℜⁿ) una curva regular, entonces el vector g´(t₀) es tangente a la curva en el punto g(t₀) siendo x = g(t), t ⊂ A, la ecuación vectorial de la curva, y t₀ ⊂ A.

F´(t₀) =   [F´_x(t₀ + h) - F´_x(t₀)]/h (estamos con una sola variable)

Recta tangente

La curva se confunde con la recta tangente en el punto dado. En ℜ² y en ℜ³: x = λ g´ + g(t₀), λ ⊂ R

Plano normal en ℜ³

Ecuación vectorial g´(t₀)·(x-g(t₀)) = 0

G1´(t₀)·(x - g1(t₀)) + g2´(t₀)·(y - g2(t₀)) + g3´(t₀)·(z - g3(t₀)) = 0

Gradiente: se define solo para campos escalares, F A ⊂ ℜⁿ → R

Grad(F)(x₀) = ∇F(x₀) = [∂F(x₀)/∂x₁, ∂F(x₀)/∂x₂, …, ∂F(x₀)/∂x_n,]

Dom (∇F) = dom (F´_x1) ∩ dom (F´_x2) ∩ … dom (F´_xn) ⊂ dom (F)

∇F:B ⊂ ℜⁿ → ℜⁿ

Derivadas de orden superior (parciales)

Definiciones: dada F:A ⊂ ℜ² → R, F ⊂ C² (clase 2), se define:

F"(x₀, y₀) = =   [F´_x(x₀ + h, y₀) - F´_x(x₀, y₀)]/h

Las derivadas que tienen las mismas letras son iguales: F"´_xxy = F"´_xyx = F"´_yxx

Dominios: Dom (F´_x) ⊂ Dom (F)

Dom (F´_y) ⊂ Dom (F)

Dom (F"_yx) ⊂ Dom (F´_x) ⊂ Dom (F)

Dom (F"_yx) ⊂ Dom (F´_y) ⊂ Dom (F)

Teorema de Schwartz

Dada F:A ⊂ ℜⁿ → R, x₀ ⊂ A, entonces si ∃ F"_xy(x) ∀ x ⊂ E (x₀) y F"_yx(x) ∀ x ⊂ E (x₀) y F"_xy contínua en E (x₀) y F"_yx contínua en E (x₀), debe ser F"_xy (x₀) = F"_yx (x₀)

Generalmente pasa para funciones contínuas

Extensión a mayor orden

Tomo F:A ⊂ ℜⁿ → R, suponemos derivadas parciales de cualquier orden contínuas.

Entonces:

1. Por el teorema de Schwartz ⇒ F"_xy = F"_yx
   Luego F"´_xyx = F"´_yxx, por ser la derivada de la misma función.
2. Tomamos F´_x, por teorema de Schwartz F"´_xxy = F"´_xyx
3. Finalmente, por a y b resulta: F"´_xxy = F"´_xyx = F"´_yxx

Ejemplo:

1)

Diferenciabilidad:

Definición: Dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜⁿ, x₀ ⊂ A, A abierto, se dice que F es diferenciable en x₀ si ∃ D(x₀) ⊂
R^mxn tal que:

  [F(x) - F(x₀) - dF(x₀)·(x - x₀)]/|x - x₀| = 0

F´((a, b), ř) = ∇F(a, b)·ř (Si F es diferenciable)

Propiedades:

F es F, G es G y x₀ es x₀

1. F y G diferenciables en x₀ ⇒ F + G diferenciables en x₀
2. F diferenciable en x₀ ⇒ λ F diferenciable en x₀
3. F y G diferenciables en x₀ ⇒ FG diferenciable en x₀
4. F diferenciable en x₀ y F(x₀) ≠ 0 ⇒ 1/F diferenciable en x₀
5. F diferenciable en x₀ y g diferenciable en F(x₀) ⇒ g_oF diferenciable en x₀
6. F diferenciable en x₀ < = > F_i diferenciable en x₀, 1 ≤ i ≤ m

Teorema: Dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, A abierto, x₀ ⊂ A, tal que F es diferenciable en x₀, entonces F es contínua en x₀

Corolario: Si F no es contínua en x₀ = > F no es diferenciable en x₀

Teorema: Dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, A abierto, x₀ ⊂ A, tal que F es diferenciable en x₀, entonces ∃ F´(x₀, ř), ∀ ř ⊂ ℜⁿ (existe la derivada en cualquier dirección).

Corolario:

1. Si para algún ř ⊂ ℜⁿ no ∃ F´(x₀, ř) ⇒ F no es diferenciable en x₀
2. Si para algún ř ⊂ ℜⁿ ∃ F´(x₀, ř) pero F´(x₀, ř) ≠ dF(x₀) ř ⇒ F no es diferenciable en x₀

La matriz dF(x₀) es la matriz de las derivadas parciales de F en x₀. Se llama matriz Jacobiano.

Ejemplo:

1) F(x, y) = (x·y², x²·e^y)

Siendo:

1. La derivada con respecto a x de x·y²
2. La derivada con respecto a y de x·y²
3. La derivada con respecto a x de x²·e^y
4. La derivada con respecto a y de x²·e^y

2)

Plano tangente al gráfico de F en el punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀))

Zt = F(x₀) + F´(x₀) (x - x₀) + F´y (x₀) (y - y₀). Luego: F(x) ≈ Zt, x ⊂ E (x₀)

Análisis de Continuidad

  (x²·y)/(x² + y²) =   y·[x²/(x² + y²)] = 0; x² ≤ x² + y² → hace acotada

Análisis de Derivabilidad

Aplicación a superficies

Superficie: Definición: Dada G, A ⊂ ℜ² → ℜ³, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de G. Dicha superficie tendrá la ecuación vectorial x = G(u; w); (u; w) ⊂ A

Clasificación de funciones:

1. F ⊂ C° (o es de clase C°) contínua
2. F ⊂ C¹ (o es de clase C¹): tiene derivadas parciales contínuas
3. F ⊂ C² (o es de clase C²): tiene derivadas parciales de segundo orden contínuas

∞)F ⊂ C^∞ (o es de clase C^∞): tiene derivadas parciales de todo orden contínuas.

Propiedad: Si F es de una clase también es de todas las clases inferiores.

Teorema: Dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, A abierto, tal que F ⊂ C¹ en E (x₀) ⇒ F es diferenciable en x₀

Punto regular:

Dado S ⊂ ℜ³ una superficie de ecuación vectorial x = G(u; w), se dice que el punto x₀ = G(u₀; w₀) ⊂ S es regular si: a) ∃ G´_u (u₀; w₀) y ∃ G´_w (u₀; w₀)

b) G´_u (u₀; w₀)×G´_w (u₀; w₀) ≠ 0 (No paralelos)

Si todos los puntos de una S son regulares, es una superficie regular, si además los G´_u y G´_w no colinan es una S lisa o suave.

Teorema: Dada A ⊂ ℜ² → R, A abierto, F es diferenciable en x₀ ⊂ A ⇒ el gráfico de F es una superficie regular en el punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀))

Si F diferenciable: vector normal: (-F´_u, -F´_w, 1) o (F´_u, F´_w, -1)

Plano tangente a una superficie: Definición: Dada S ⊂ ℜ³ una superficie regular de ecuación vectorial x = G(u, w), (u, w) ⊂ A ℜ², se define el plano tangente a S en le punto A = G(u₀, w₀) como:

G´_u (u₀, w₀)×G´_w (u₀, w₀)·(x - G u₀, w₀)) = 0

Teorema: Dada F A ⊂ ℜ² → R, A abierto, F diferenciable en x₀ ⊂ A, entonces la ecuación del plano tangente al gráfico de F en el punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀)) es:

Z = F(x₀, y₀) + F´_x (x₀, y₀) (x - x₀) + F´_y (x₀, y₀) (y - y₀)

Observación: Con el mismo vector G´_u X G´_w se puede definir la recta normal a S:

x = λ (G´_u (u₀, w₀)×G´(u₀, w₀)), λ ⊂ R

O bien la recta normal al gráfico de F.

x = λ (-F´_x (x₀, w₀), -F´y (x₀, y₀), 1) + (x₀, y₀, F(x₀, y₀)), λ ⊂ R

Composición de funciones:

Teorema: Dada F:A ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, diferenciable en A, G:b ⊂ ℜ^m → R^p, diferenciable en b, con F(A) ⊂ b, entonces:

D (gof)(x₀) = Dg (f(x₀)). Df(x₀), x₀ ⊂ A. Se usan matrices Jacobiano.

Corolario: Dada F:A ⊂ ℜⁿ → R, diferenciables en A, entonces ∇ f(x₀) es perpendicular al conjunto de nivel f(x) = f(x₀), en le punto x₀

R²: ∇F(G(t)) ˆ G´(t)

R³: ∇F(G(u, w)) ˆ al plano tangente a la superficie de nivel en el punto G(u, w)

Regla práctica para derivar:

x x = (x, y)·(x, y) = x² + y² = |x|²

Para diferenciablidad:

  [F(x) - F(0) - ∇F(0)·(x - 0)]/|x - 0|

"Como el gráfico de F tiene recta normal en (1, 0, 1) entonces F es diferenciable en (1, 0)

Funciones definidas en forma explícita:

Teorema: F(x₀, y₀) = 0 y F´y (x₀, y₀) ≠ 0 ⇒ F(x, y) = 0 define localmente en forma implícita una única función Y = Y(x) tal que:

1. y (x₀) = y₀
2. y (x₀) = F_x(x₀, y₀)/F_y(x₀, y₀)

Z = f(x, y)

x + y·z - e^z = 0 → F(x, y, y)

F´_z = y - e^z

Z´_x = -F´_x/F´_z = -1/(y - e^z)

Z"_xx = -e^z·z´_x/(y - e^z)² = [-e^z/(y - e^z)³]·z´_x = F´_y/F´_z

Extremos:

Absoluto: F(a) ≥ F(x) ∀ x Local: F(a) ≥ F(x) ∀ x ⊂ E (a)

Obs: punto frontera solo puede ser extremos absoluto.

Teorema: Si existe la derivada con respecto a un vector en un extremo entonces es cero.

Obs:

1. Si para algún versor la derivada da ≠ 0 ⇒ no es extremo local
2. Si no ∃ F´(a, ř) ⇒ nada puede asegurarse

Teorema: F diferenciable /F(a) es extremo local, entonces debe ser ∇F(a) = 0 (punto crítico o estacionario)

Teorema: F diferenciable /∇F(a) = 0 ⇒ F(a) es punto silla F(x1) ≤ F(a) ≥ F(x2)

Matriz Hesiano: F ⊂ C² /∇F(a) = 0

Casos de funciones escalares diferenciables

Derivadas máximas: řmáxima = ∇F(x₀); řmin = - ∇F(x₀)

En ℜ²: ř0 = (F´y (x₀), - F´x (x₀)) ř0 = (-F´y (x₀), F´x (x₀))

F´(x₀, řmáxima) = |∇F(x₀)| F´(x₀, řmin) = -|∇F(x₀)|

Desarrollo de Taylor: ℜ² → R: a = (a1, a2)

F(x, y) = F(a₁, a₂) + F´x(a) (x - a₁) + F´y(a) (y - a₂) +

Extremos condicionados:

Teorema (Lagrange - Para puntos críticos)

Dada F:A ⊂ ℜⁿ → R, A abierto, f ⊂ C² y dadas Fi: A ⊂ ℜⁿ — R, Fi ⊂ C², 1 ≤ i ≤ n con m < n.

Entonces los extremos locales de F sujetos a las condiciones Fi(x) = 0, 1 ≤ i = m, se pueden obtener estudiando los extremos locales de la siguiente función.