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Superficie de nivel

Conjuntos:

Abierto: Es aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).

Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.

Acotado: ℜ es acotado si ∃ k > 0 / ℜ ⊂ E(0, k)

Compacto: cerrado y acotado.

Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.

Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo:

Esquema de un conjunto convexo

No es convexo:

Esquema de un conjunto no convexo

Funciones:

F:A ⊂ ℜm →, m > 1 campo vectorial

F:A ⊂ ℜn → ℜ, m = 1 campos o funciones escalares

Conjunto de nivel (para campos escalares):

Definición:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ y k ⊂ ℜ, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F(x) = k

Para ƒ:A ⊂ ℜ² → ℜ: F(x, y) = k = > curva de nivel

Para ƒ:A ⊂ ℜ³ → ℜ: F(x, y, z) = k = > superficie de nivel

Gráfico de un conjunto de nivel

Interpretación geométrica: El conjunto de nivel k de una función de 2 variables x e y es la sombra o la proyección de la curva que resulta de intersectar el gráfico de la función con el plano z = k.

Superficie de nivel:

F(x, y, z) = k

Ejemplo n° 1

3·x - 2·y + z = kPara k = 13·x - 2·y + z = 1(x, y, z) (3, -2, 1) = kFijo
Para k = -23·x - 2·y + z = -2(x - a)·v = 0 ⇒ x·v = a·v

Gráfico de la proyección de una curva de nivel

⇒ Si varío k, varío el origen del plano (lo desplazo)

A medida que varío k me van quedando planos paralelos.

Ejemplo n° 2

Gráfico de una superficie de nivel

F(x, y) = y - 2·x, x ⊂ ℜ²

Planteo F(x, y) = k, k ⊂ ℜ ⇒ y - 2·x = k ⇒ y = 2·x + k

F(x, y, z) = z - x² - y² - 4

Planteo F(x, y, z) = k ⇒ z - x² - y² - 4 = k ⇒ z = x² + y² + 4 + k

Parametrizaciones: Curvas en ℜ²

a.

F(x) = x², x ⊂ [-1, 4]

Ecuación cartesiana del gráfico de F:y = F(x) = > Y = x², -1 ≤ x ≤ 4
Ecuación vectorial del gráfico de Fx = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]
Ecuaciones paramétricas del gráfico de Fx = t y = t², t ⊂ [-1, 4]

La función g:[-1, 4] → ℜ² se denomina parametrización del gráfico de F y está definida por: g(t) = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

b.

F(x) = 2·x + 1, x ⊂ ℜ ecuación cartesiana y = 2·x + 1, x ⊂ ℜ.

Parametrización: intento x = t ⇒ y = 2·t + 1} g(t) = (t, 2·t + 1), t ⊂ ℜ

X = (t, 2·t + a), t ⊂ ℜ ecuación vectorial.

Parametrización de una circunferencia:

x² + y² = R²EP x = R·cos (t), t ⊂ [0, 2·π]
 y = R·sen (t)
EV x = (R·cos (t), R·sen (t)), t ⊂ [0, 2·π]
G = (R·cos (t), R·sen (t)), t ⊂ [0, 2·π]

Observación:

Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]

Curva

Definición:

Dada una función g:[a, b] ⊂ ℜ → ℜn, contínua, se llama curva al conjunto imagen de g

Curva no completa = arco de curva.

Gráfico de una curva no completa

Curvas en ℜ³

Z + y = 3EP =x = t
Y = x²y = t²EVG(t) = (t, t², 3 - t²), t ⊂ ℜ
 Z = 3 - t² 

Superficie

Definición:

Dada una función g: A ⊂ ℜ² → ℜn, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de g

Límites: Propiedades:

Si lim
x → a
F(x) = b ∧ lim
x → a
g(y) = L
lim
x → a
(g o F)(x) = L
Si lim
x → a
F(x) = L
lim
x → a
Fi(x) = Li, 1 ≤ i ≤ m; (se acercan las componentes).

Límites por curvas:

Si no ∃ el límite para alguna curva parametrizada por g tal que g(t0) = A ⇒ no ∃ lim
x → a
F(x)

Ejemplo n° 3

lim
(x, y) → (1, 1)
(x - y - 2)/(x - 1)
Tomo y = 1 ⇒ lim
x → 1
(x - 1)/(x - 1) = 1
Tomo x = 1 ⇒ lim
y → 1
(y - 1)/(1 - y) = -1
Luego, no existe lim
(x, y) → (1, 1)
F(x, y) = 1

Observación: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.

Recordar: |x| ≤ |x| ⇒ x² ≤ x² + y² ⇒ x²/(x² + y²) ≤ 1

Continuidad:

F contínua en x0 y G contínua en F(x0) ⇒ (G0F) contínua en x0

F contínua en x0 < = > Fi contínua en x0, 1 ≤ i ≤ m

Tipos de discontinuidad:

Esencial: cuando no existe   F(x)

Evitable: cuando existe el lim pero no F(x0) o bien ∃ F(x0) pero lim ≠ F(x0)

Derivabilidad

Definición:

Derivada direccional: dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, x0 y ř ⊂ ℜn, se define la derivada direccional de F en x0 según el versor ř como:

F'(x0,γ) =   [F(x0 + h·γ) - F(x0)]/h = ∂F(x0)/∂γ

Propiedades: principio de homogeneidad: F'(x0, λ ř) = λ F'(x0, ř), λ ≠ 0, λ ⊂ ℜ

Propiedad 2: Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.

Derivadas parciales: caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base canónica.

Regla práctica de calculo:

F(x, y) = ln (x² + y²)

F'x(x, y) = 2·x/(x² + y²)

F'y(x, y) = 2·y/(x² + y²)

Dom (F'x) I Dom (F)

Interpretación gráfica de la derivada de las componentes de un vector

Observación:

La derivada de un vector es la derivada de las componentes.

Interpretación geométrica:

Válida para F:A ⊂ ℜ² → ℜ

F'(x0, y0) =   [F(x0 + h, y0) - F(x0, y0)]/h = tg α

Teorema del valor medio:

a.

Dada F:[a, b] → ℜ, contínua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ⊂ (a, b) tal que:

F(b) - F(a) = F'(c)·(b - a)

b.

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, A abierto y convexo, F ⊂ C¹, a ⊂ A y b ⊂ A, entonces:

F(b) - F(a) = F'(c, b - a) = F'(c, ř) |b - a|, γ = (b - a)/|b - a|, c ⊂ segmento a b, c ≠ a y c ≠ b

Interpretación gráfica del teorema del valor medio

Aplicaciones a curvas:

Definición:

Punto regular: Dada C curva de ℜn, de ecuación vectorial x = g(t) t ⊂ A, se dice que A ⊂ C, A = g(t0), es un punto regular de C si:

  1. ∃ g'(t0) y
  2. g'(t0) ≠ 0

Observaciones:

  1. Si un punto no es regular se lo llama singular
  2. Si una curva tiene todos los puntos regulares ⇒ es regular

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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