Superficie de nivel y curvas en ℜ³ (primera parte)

Conjuntos:

Abierto: Es aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).

Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.

Acotado: ℜ es acotado si ∃ k > 0 / ℜ ⊂ E(0, k)

Compacto: cerrado y acotado.

Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.

Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo:

Esquema de un conjunto convexo

No es convexo:

Esquema de un conjunto no convexo

Funciones:

F:A ⊂ ℜm ⟶, m > 1 campo vectorial

F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, m = 1 campos o funciones escalares

Conjunto de nivel (para campos escalares):

Definición:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ y k ⊂ ℜ, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F(x) = k

Para f:A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ: F(x, y) = k = > curva de nivel

Para f:A ⊂ ℜ³ ⟶ ℜ: F(x, y, z) = k = > superficie de nivel

Gráfico de un conjunto de nivel

Interpretación geométrica: El conjunto de nivel k de una función de 2 variables x e y es la sombra o la proyección de la curva que resulta de intersectar el gráfico de la función con el plano z = k.

Superficie de nivel:

F(x, y, z) = k

Ejemplo n° 1

3·x - 2·y + z = k

Para k = 1:

3·x - 2·y + z = 1 ⟶ (x, y, z)·(3, -2, 1) = k ⇒ Fijo

Para k = -2:

3·x - 2·y + z = -2 ⟶ (x - a)·v = 0 ⇒ x·v = a·v ⇒ Fijo

Gráfico de la proyección de una curva de nivel

⇒ Si varío k, varío el origen del plano (lo desplazo)

A medida que varío k me van quedando planos paralelos.

Ejemplo n° 2

Gráfico de una superficie de nivel

F(x, y) = y - 2·x, x ⊂ ℜ²

Planteo F(x, y) = k, k ⊂ ℜ ⇒ y - 2·x = k ⇒ y = 2·x + k

F(x, y, z) = z - x² - y² - 4

Planteo F(x, y, z) = k ⇒ z - x² - y² - 4 = k ⇒ z = x² + y² + 4 + k

Parametrizaciones: Curvas en ℜ²

a)

F(x) = x², x ⊂ [-1, 4]

Ecuación cartesiana del gráfico de F:

y = F(x) ⇒ Y = x², -1 ≤ x ≤ 4

Ecuación vectorial del gráfico de F:

x = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

Ecuaciones paramétricas del gráfico de F:

x = t ∧ y = t², t ⊂ [-1, 4]

La función g:[-1, 4] ⟶ ℜ² se denomina parametrización del gráfico de F y está definida por: g(t) = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

b)

F(x) = 2·x + 1, x ⊂ ℜ ecuación cartesiana y = 2·x + 1, x ⊂ ℜ.

Parametrización: intento x = t ⇒ y = 2·t + 1} g(t) = (t, 2·t + 1), t ⊂ ℜ

X = (t, 2·t + a), t ⊂ ℜ ecuación vectorial.

Parametrización de una circunferencia:

x² + y² = R²

EP: x = R·cos t, t ⊂ [0, 2·π]

y = R·sen t

EV: x = (R·cos t, R·sen t), t ⊂ [0, 2·π]

G = (R·cos t, R·sen t), t ⊂ [0, 2·π]

Observación:

Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]

Curva

Definición:

Dada una función g:[a, b] ⊂ ℜ ⟶ ℜⁿ, contínua, se llama curva al conjunto imagen de g

Curva no completa = arco de curva.

Gráfico de una curva no completa

Curvas en ℜ³

Z + y = 3EP: x = t
Y = x²y = t²
 Z = 3 - t²

EVG(t) = (t, t², 3 - t²), t ⊂ ℜ

Superficie

Definición:

Dada una función g: A ⊂ ℜ² ⟶ ℜⁿ, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de g.

Límites

Propiedades:

Si:

lim
x ⟶ a
F(x) = b ∧lim
x ⟶ a
g(y) = L
lim
x ⟶ a
(g o F)(x) = L

Si:

lim
x ⟶ a
F(x) = L
lim
x ⟶ a
Fi(x) = Li

1 ≤ i ≤ m; (se acercan las componentes).

Límites por curvas:

Si ∄ el límite para alguna curva parametrizada por "g" tal que g(t₀) = A ⇒ ∄lim
x ⟶ a
F(x)

Ejemplo n° 3

lim
(x, y) ⟶ (1, 1)
x - y - 2
x - 1
Tomo y = 1 ⇒lim
x ⟶ 1
x - 1= 1
x - 1
Tomo x = 1 ⇒lim
y ⟶ 1
y - 1= -1
1 - y
Luego, ∄lim
(x, y) ⟶ (1, 1)
F(x, y) = 1

Observación: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.

Recordar:

|x| ≤ |x| ⇒ x² ≤ x² + y² ⇒≤ 1
x² + y²

Continuidad

F contínua en x₀ y G contínua en F(x₀) ⇒ (G₀F) contínua en x₀

F contínua en x₀ < = > Fi contínua en x₀, 1 ≤ i ≤ m

Tipos de discontinuidad:

Esencial:

Cuando ∄lim
x ⟶ x₀
F(x)

Evitable:

Cuando existe el límite pero no F(x₀) o bien ∃ F(x₀) pero lim ≠ F(x₀)

Derivabilidad

Definición:

Derivada direccional:

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜm, x₀ y ř ⊂ ℜⁿ, se define la derivada direccional de F en x₀ según el versor ř como:

F'(x₀, γ) =lim
h ⟶ 0
F(x₀ + h·γ) - F(x₀)=∂F(x₀)
h∂γ

Propiedades:

Principio de homogeneidad:

F'(x₀, λ ř) = λ F'(x₀, ř), λ ≠ 0, λ ⊂ ℜ

Propiedad 2:

Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.

Derivadas parciales:

Caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base canónica.

Regla práctica de calculo:

F(x, y) = ln (x² + y²)

F'x(x, y) = 2·x/(x² + y²)

F'y(x, y) = 2·y/(x² + y²)

Dom (F'x) I Dom (F)

Interpretación gráfica de la derivada de las componentes de un vector

Observación:

La derivada de un vector es la derivada de las componentes.

Interpretación geométrica:

Válida para F:A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ

F'(x₀, y₀) =lim
h ⟶ 0
F(x₀ + h, y₀) - F(x₀, y₀)
h
F'(x₀, y₀) =tg α

Teorema del valor medio:

a)

Dada F:[a, b] ⟶ ℜ, contínua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ⊂ (a, b) tal que:

F(b) - F(a) = F'(c)·(b - a)

b)

Dada F:A ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, A abierto y convexo, F ⊂ C¹, a ⊂ A y b ⊂ A, entonces:

F(b) - F(a) = F'(c, b - a) = F'(c, ř) |b - a|, γ = (b - a)/|b - a|, c ⊂ segmento a b, c ≠ a y c ≠ b

Interpretación gráfica del teorema del valor medio

Aplicaciones a curvas:

Definición:

Punto regular:

Dada C curva de ℜⁿ, de ecuación vectorial x = g(t) t ⊂ A, se dice que A ⊂ C, A = g(t₀), es un punto regular de C si:

a) ∃ g'(t₀) y

b) g'(t₀) ≠ 0

Observaciones:

a) Si un punto no es regular se lo llama singular

b) Si una curva tiene todos los puntos regulares ⇒ es regular

Autor: Marcelo Ariel Jusid.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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