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Superficie de nivel. Parametrizaciones. Curvas en R3. AP12

Contenido: Conjuntos. Funciones. Superficie de nivel. Parametrizaciones. Curvas en R3.

Superficie de nivel

Conjuntos:

Abierto: Es aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).

Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.

Acotado: ℜ es acotado si ∃ k > 0 / ℜ ⊂ E(0, k)

Compacto: cerrado y acotado.

Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.

Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.

Si es convexo:

No es convexo:

Funciones:

F:A ⊂ ℜm →, m > 1 campo vectorial

F:A ⊂ ℜn → ℜ, m = 1 campos o funciones escalares

Conjunto de nivel (para campos escalares):

Definición:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ y k ⊂ ℜ, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F(x) = k

Para ƒ:A ⊂ ℜ² → ℜ: F(x, y) = k = > curva de nivel

Para ƒ:A ⊂ ℜ³ → ℜ: F(x, y, z) = k = > superficie de nivel

Interpretación geométrica: El conjunto de nivel k de una función de 2 variables x e y es la sombra o la proyección de la curva que resulta de intersectar el gráfico de la función con el plano z = k.

Superficie de nivel:

F(x, y, z) = k

Ejemplo n° 1)

3·x - 2·y + z = k

Para k = 1

3·x - 2·y + z = 1

(x, y, z) (3, -2, 1) = k

Fijo

Para k = -2

3·x - 2·y + z = -2

(x - a)·v = 0 ⇒ x·v = a·v

⇒ Si varío k, varío el origen del plano (lo desplazo)

A medida que varío k me van quedando planos paralelos.

Ejemplo n° 2)

F(x, y) = y - 2·x, x ⊂ ℜ²

Planteo F(x, y) = k, k ⊂ ℜ ⇒ y - 2·x = k ⇒ y = 2·x + k

F(x, y, z) = z - x² - y² - 4

Planteo F(x, y, z) = k ⇒ z - x² - y² - 4 = k ⇒ z = x² + y² + 4 + k

Parametrizaciones: Curvas en ℜ²

a.

F(x) = x², x ⊂ [-1, 4]

Ecuación cartesiana del gráfico de F:

y = F(x) = > Y = x², -1 ≤ x ≤ 4

Ecuación vectorial del gráfico de F

x = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

Ecuaciones paramétricas del gráfico de F

x = t y = t², t ⊂ [-1, 4]

La función g:[-1, 4] → ℜ² se denomina parametrización del gráfico de F y está definida por: g(t) = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]

b.

F(x) = 2·x + 1, x ⊂ ℜ ecuación cartesiana y = 2·x + 1, x ⊂ ℜ.

Parametrización: intento x = t ⇒ y = 2·t + 1} g(t) = (t, 2·t + 1), t ⊂ ℜ

X = (t, 2·t + a), t ⊂ ℜ ecuación vectorial.

Parametrización de una circunferencia:

x² + y² = R²

EP x = R·cos (t), t ⊂ [0, 2·π]

 

y = R·sen (t)

EV x = (R·cos (t), R·sen (t)), t ⊂ [0, 2·π]

G = (R·cos (t), R·sen (t)), t ⊂ [0, 2·π]

Observación:

Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]

Curva

Definición:

Dada una función g:[a, b] ⊂ ℜ → ℜn, contínua, se llama curva al conjunto imagen de g

Curva no completa = arco de curva.

Curvas en ℜ³

Z + y = 3

EP =

x = t

Y = x²

y = t²

EVG(t) = (t, t², 3 - t²), t ⊂ ℜ

 

Z = 3 - t²

 

Superficie

Definición:

Dada una función g: A ⊂ ℜ² → ℜn, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de g

Limites: Propiedades:

Si   F(x) = b ∧ Límite de y tendiendo a b g(y) = L ⇒   (g o F)(x) = L

Si   F(x) = L ⇔   Fi(x) = Li, 1 ≤ i ≤ m; (se acercan las componentes).

Limites por curvas: Si no ∃ el lim para alguna curva parametrizada por g tal que g(t0) = A ⇒ no ∃   F(x)

Ejemplo n° 3) Límite de xy tendiendo a 1(x - y - 2)/(x - 1)

Tomo y = 1 ⇒  (x - 1)/(x - 1) = 1

Tomo x = 1 ⇒ Límite de y tendiendo a 1(y - 1)/(1 - y) = -1

Luego, no existe Límite de xy tendiendo a 1 F(x, y) = 1

Observación: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.

Recordar: |x| ≤ |x| ⇒ x² ≤ x² + y² ⇒ x²/(x² + y²) ≤ 1

Continuidad:

F contínua en x0 y G contínua en F(x0) ⇒ (G0F) contínua en x0

F contínua en x0 < = > Fi contínua en x0, 1 ≤ i ≤ m

Tipos de discontinuidad:

Esencial: cuando no existe   F(x)

Evitable: cuando existe el lim pero no F(x0) o bien ∃ F(x0) pero lim ≠ F(x0)

Derivabilidad

Definición:

Derivada direccional: dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, x0 y ř ⊂ ℜn, se define la derivada direccional de F en x0 según el versor ř como:

F'(x0,γ) =   [F(x0 + h·γ) - F(x0)]/h = ∂F(x0)/∂γ

Propiedades: principio de homogeneidad: F'(x0, λ ř) = λ F'(x0, ř), λ ≠ 0, λ ⊂ ℜ

Propiedad 2: Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.

Derivadas parciales: caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base canónica.

Regla práctica de calculo:

F(x, y) = ln (x² + y²)

F'x(x, y) = 2·x/(x² + y²)

F'y(x, y) = 2·y/(x² + y²)

Dom (F'x) I Dom (F)

Observación:

La derivada de un vector es la derivada de las componentes.

Interpretación geométrica:

Válida para F:A ⊂ ℜ² → ℜ

F'(x0, y0) =   [F(x0 + h, y0) - F(x0, y0)]/h = tg α

Teorema del valor medio:

a.

Dada F:[a, b] → ℜ, contínua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ⊂ (a, b) tal que:

F(b) - F(a) = F'(c)·(b - a)

b.

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, A abierto y convexo, F ⊂ C¹, a ⊂ A y b ⊂ A, entonces:

F(b) - F(a) = F'(c, b - a) = F'(c, ř) |b - a|, γ = (b - a)/|b - a|, c ⊂ segmento a b, c ≠ a y c ≠ b

Aplicaciones a curvas:

Definición:

Punto regular: Dada C curva de ℜn, de ecuación vectorial x = g(t) t ⊂ A, se dice que A ⊂ C, A = g(t0), es un punto regular de C si:

  1. ∃ g'(t0) y
  2. g'(t0) ≠ 0

Observaciones:

  1. Si un punto no es regular se lo llama singular
  2. Si una curva tiene todos los puntos regulares ⇒ es regular

Vector tangente

Definición:

Dada C ⊂ ℜn (C curva de ℜn) una curva regular, entonces el vector g'(t0) es tangente a la curva en el punto g(t0) siendo x = g(t), t ⊂ A, la ecuación vectorial de la curva, y t0 ⊂ A.

F'(t0) =   [F'x(t0 + h) - F'x(t0)]/h (estamos con una sola variable)

Recta tangente

La curva se confunde con la recta tangente en el punto dado. En ℜ² y en ℜ³: x = λ g' + g(t0), λ ⊂ ℜ

Plano normal en ℜ³

Ecuación vectorial g'(t0)·(x - g(t0)) = 0

G1'(t0)·(x - g1(t0)) + g2'(t0)·(y - g2(t0)) + g3'(t0)·(z - g3(t0)) = 0

Gradiente: se define solo para campos escalares, F A ⊂ ℜn → ℜ

Grad(F)(x0) = ∇F(x0) = [∂F(x0)/∂x1, ∂F(x0)/∂x2, …, ∂F(x0)/∂xn,]

Dom (∇F) = dom (F'x1) ∩ dom (F'x2) ∩ … dom (F'xn) ⊂ dom (F)

∇F:B ⊂ ℜn → ℜn

Derivadas de orden superior (parciales)

Definiciones: dada F:A ⊂ ℜ² → ℜ, F ⊂ C² (clase 2), se define:

F"(x0, y0) = Derivadas parciales =   [F'x(x0 + h, y0) - F'x(x0, y0)]/h

Las derivadas que tienen las mismas letras son iguales: F‴xxy = F‴xyx = F‴yxx

Dominios: Dom (F'x) ⊂ Dom (F)

Dom (F'y) ⊂ Dom (F)

Dom (F"yx) ⊂ Dom (F'x) ⊂ Dom (F)

Dom (F"yx) ⊂ Dom (F'y) ⊂ Dom (F)

Teorema de Schwartz

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, x0 ⊂ A, entonces si ∃ F"xy(x) ∀ x ⊂ E(x0) y F"yx(x) ∀ x ⊂ E(x0) y F"xy contínua en E(x0) y F"yx contínua en E(x0), debe ser F"xy (x0) = F"yx (x0)

Generalmente pasa para funciones contínuas

Extensión a mayor orden

Tomo F:A ⊂ ℜn → ℜ, suponemos derivadas parciales de cualquier orden contínuas.

Entonces:

  1. Por el teorema de Schwartz ⇒ F"xy = F"yx
    Luego F‴xyx = F‴yxx, por ser la derivada de la misma función.
  2. Tomamos F'x, por teorema de Schwartz F‴xxy = F‴xyx
  3. Finalmente, por a y b resulta: F‴xxy = F‴xyx = F‴yxx

Ejemplo n° 4)

F(x, y) = ex·y

F"xx = y²·ex·y

F‴xxy = 2·y·ex·y + y²·x·ex·y

F'x = y·ex·y

F"yy = x²·ex·y

F‴xyx = 2·y·ex·y + y²·x·ex·y

F'y = x·ex·y

F"xy = ex·y + y·x·ex·y

F‴yxx = 2·y·ex·y + y²·x·ex·y

-

F"yx = ex·y + x·y·ex·y

-

Diferenciabilidad:

Definición:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜn, x0 ⊂ A, A abierto, se dice que F es diferenciable en x0 si ∃ D(x0) ⊂ ℜm×n tal que:

  [F(x) - F(x0) - dF(x0)·(x - x0)]/|x - x0| = 0

F'((a, b), ř) = ∇F(a, b)·ř (Si F es diferenciable)

Propiedades:

F es F, G es G y x0 es x0

  1. F y G diferenciables en x0 ⇒ F + G diferenciables en x0
  2. F diferenciable en x0 ⇒ λ F diferenciable en x0
  3. F y G diferenciables en x0 ⇒ FG diferenciable en x0
  4. F diferenciable en x0 y F(x0) ≠ 0 ⇒ 1/F diferenciable en x0
  5. F diferenciable en x0 y g diferenciable en F(x0) ⇒ g0F diferenciable en x0
  6. F diferenciable en x0 < = > Fi diferenciable en x0, 1 ≤ i ≤ m

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, x0 ⊂ A, tal que F es diferenciable en x0, entonces F es contínua en x0

Corolario:

Si F no es contínua en x0 = > F no es diferenciable en x0

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, x0 ⊂ A, tal que F es diferenciable en x0, entonces ∃ F'(x0, ř), ∀ ř ⊂ ℜn (existe la derivada en cualquier dirección).

Corolario:

  1. Si para algún ř ⊂ ℜn no ∃ F'(x0, ř) ⇒ F no es diferenciable en x0
  2. Si para algún ř ⊂ ℜn ∃ F'(x0, ř) pero F'(x0, ř) ≠ dF(x0) ř ⇒ F no es diferenciable en x0

La matriz dF(x0) es la matriz de las derivadas parciales de F en x0. Se llama matriz Jacobiano.

Ejemplo 5)

F(x, y) = (x·y², x²·ey)

dF =

2·x·y

=

1

2

2·x·ey

x²·ey

3

4

Siendo:

  1. La derivada con respecto a x de x·y²
  2. La derivada con respecto a y de x·y²
  3. La derivada con respecto a x de x²·ey
  4. La derivada con respecto a y de x²·ey

2)

Plano tangente al gráfico de F en el punto (x0, y0, F(x0, y0))

Zt = F(x0) + F'(x0) (x - x0) + F'y(x0) (y - y0). Luego: F(x) ≈ Zt, x ⊂ E(x0)

Análisis de Continuidad

  (x²·y)/(x² + y²) =   y·[x²/(x² + y²)] = 0; x² ≤ x² + y² → hace acotada.

Análisis de Derivabilidad

Aplicación a superficies

Superficie:

Definición:

Dada G, A ⊂ ℜ² → ℜ³, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de G. Dicha superficie tendrá la ecuación vectorial x = G(u; w); (u; w) ⊂ A

Clasificación de funciones:
  1. F ⊂ C° (o es de clase C°) contínua
  2. F ⊂ C¹ (o es de clase C¹): tiene derivadas parciales contínuas
  3. F ⊂ C² (o es de clase C²): tiene derivadas parciales de segundo orden contínuas

∞)F ⊂ C (o es de clase C∞): tiene derivadas parciales de todo orden contínuas.

Propiedad: Si F es de una clase también es de todas las clases inferiores.

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, A abierto, tal que F ⊂ C¹ en E(x0) ⇒ F es diferenciable en x0

Punto regular:

Dado S ⊂ ℜ³ una superficie de ecuación vectorial x = G(u; w), se dice que el punto x0 = G(u0; w0) ⊂ S es regular si:

a.

∃ G'u (u0; w0) y ∃ G'w (u0; w0)

b.

G'u (u0; w0)×G'w (u0; w0) ≠ 0 (No paralelos)

Si todos los puntos de una S son regulares, es una superficie regular, si además los G'u y G'w no colinan es una S lisa o suave.

Teorema:

Dada A ⊂ ℜ² → ℜ, A abierto, F es diferenciable en x0 ⊂ A ⇒ el gráfico de F es una superficie regular en el punto (x0, y0, F(x0, y0))

Si F diferenciable: vector normal: (-F'u, -F'w, 1) o (F'u, F'w, -1)

Plano tangente a una superficie

Definición:

Dada S ⊂ ℜ³ una superficie regular de ecuación vectorial x = G(u, w), (u, w) ⊂ A ℜ², se define el plano tangente a S en le punto A = G(u0, w0) como:

G'u (u0, w0)×G'w (u0, w0)·(x - G u0, w0)) = 0

Teorema:

Dada F A ⊂ ℜ² → ℜ, A abierto, F diferenciable en x0 ⊂ A, entonces la ecuación del plano tangente al gráfico de F en el punto (x0, y0, F(x0, y0)) es:

Z = F(x0, y0) + F'x (x0, y0) (x - x0) + F'y (x0, y0) (y - y0)

Observación:

Con el mismo vector G'u×G'w se puede definir la recta normal a S:

x = λ (G'u (u0, w0)×G'(u0, w0)), λ ⊂ ℜ

O bien la recta normal al gráfico de F.

x = λ (-F'x (x0, w0), -F'y(x0, y0), 1) + (x0, y0, F(x0, y0)), λ ⊂ ℜ

Composición de funciones:

Teorema:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, diferenciable en A, G:b ⊂ ℜm → ℜp, diferenciable en b, con F(A) ⊂ b, entonces:

D(g o ƒ)(x0) = Dg(ƒ(x0)). Dƒ(x0), x0 ⊂ A. Se usan matrices Jacobiano.

Corolario:

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, diferenciables en A, entonces ∇ ƒ(x0) es perpendicular al conjunto de nivel ƒ(x) = ƒ(x0), en le punto x0

R²: ∇F(G(t)) ˆ G'(t)

ℜ³: ∇F(G(u, w)) ˆ al plano tangente a la superficie de nivel en el punto G(u, w)

Regla práctica para derivar:

F = F(u, w)

 

u

 

x → h'x = F'u u'x + F'w w'x

Con todos los caminos posibles que conducen a la variable de derivación

u = u(x, y)

resulta F

 

w = w(x, y)

h(x, y)

w

 

y → h'y = F'u u'y + F'w w'y

x x = (x, y)·(x, y) = x² + y² = |x|²

Para diferenciablidad:

  [F(x) - F(0) - ∇F(0)·(x - 0)]/|x - 0|

"Como el gráfico de F tiene recta normal en (1, 0, 1) entonces F es diferenciable en (1, 0)

Funciones definidas en forma explícita:

Teorema:

F(x0, y0) = 0 y F'y(x0, y0) ≠ 0 ⇒ F(x, y) = 0 define localmente en forma implícita una única función Y = Y(x) tal que:

  1. y (x0) = y0
  2. y (x0) = Fx(x0, y0)/Fy(x0, y0)

Z = ƒ(x, y)

x + y·z - ez = 0 → F(x, y, z)

F'z = y - ez

Z'x = -F'x/F'z = -1/(y - ez)

Z"xx = -ez·z'x/(y - ez)² = [-ez/(y - ez)³]·z'x = F'y/F'z

Extremos:

Absoluto: F(a) ≥ F(x) ∀ x Local: F(a) ≥ F(x) ∀ x ⊂ E(a)

Observación: punto frontera solo puede ser extremos absoluto.

Teorema:

Si existe la derivada con respecto a un vector en un extremo entonces es cero.

Observación:

  1. Si para algún versor la derivada da ≠ 0 ⇒ no es extremo local
  2. Si no ∃ F'(a, ř) ⇒ nada puede asegurarse

Teorema:

F diferenciable /F(a) es extremo local, entonces debe ser ∇F(a) = 0 (punto crítico o estacionario)

Teorema:

F diferenciable /∇F(a) = 0 ⇒ F(a) es punto silla F(x1) ≤ F(a) ≥ F(x2)

Matriz Hesiano: F ⊂ C² /∇F(a) = 0

F" xx(a)

F" xy(a)

det H(a) > 0 y F" xy(a) < 0 Υ F" yy(a) > 0 ⇒ F(a) es mínimo local

H(a) =

F" xy(a)

F" yy(a)

det H(a) > 0 y F" xx(a) < 0 Υ F" yy(a) < 0 ⇒ F(a) es máximo local

 

det H(a) < 0 ⇒ F(a) punto silla

det H(a) = 0 nada se sabe

Casos de funciones escalares diferenciables

Derivadas máximas: ř máxima = ∇F(x0); ř min = - ∇F(x0)

En ℜ²: ř 0 = (F'y(x0), - F'x (x0)) ř 0 = (-F'y(x0), F'x (x0))

F'(x0, řmáxima) = |∇F(x0)| F'(x0, ř min) = -|∇F(x0)|

Desarrollo de Taylor: ℜ² → ℜ: a = (a1, a2)

F(x, y) = F(a1, a2) + F'x(a) (x - a1) + F'y(a) (y - a2) +

+

+

½[F" xx(a) (x - a1)² + F" yy(a) (y - a2)² + 2·F" xy(a) (x - a1) (y - a2)]

+

1/6[F‴ xxy(a) (x - a1)³ + F‴(a) (y - a2)³ + 3·F‴ xxy(a) (x - a1)²·(y - a2) + 3·F‴ yyx(a) (x - a1)·(y - a2)²]

Extremos condicionados:

Teorema de Lagrange (Para puntos críticos)

Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, A abierto, ƒ ⊂ C² y dadas Fi:A ⊂ ℜn — ℜ, Fi ⊂ C², 1 ≤ i ≤ n con m < n.

Entonces los extremos locales de F sujetos a las condiciones Fi(x) = 0, 1 ≤ i = m, se pueden obtener estudiando los extremos locales de la siguiente función.

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