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Superficie de nivel
Conjuntos:
Abierto: Es aquel que no incluye la frontera (todos los puntos son interiores).
Cerrado: Es aquel que incluye toda su frontera.
Acotado: ℜ es acotado si ∃ k > 0 / ℜ ⊂ E(0, k)
Compacto: cerrado y acotado.
Conexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, se los puede unir con una curva que este incluida en el conjunto.
Convexo: Cuando dados 2 puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une esta incluido en el conjunto.
Si es convexo:
No es convexo:
Funciones:
F:A ⊂ ℜm →, m > 1 campo vectorial
F:A ⊂ ℜn → ℜ, m = 1 campos o funciones escalares
Conjunto de nivel (para campos escalares):
Definición:
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ y k ⊂ ℜ, se llama conjunto de nivel k de F al conjunto de puntos de A tal que F(x) = k
Para ƒ:A ⊂ ℜ² → ℜ: F(x, y) = k = > curva de nivel
Para ƒ:A ⊂ ℜ³ → ℜ: F(x, y, z) = k = > superficie de nivel
Interpretación geométrica: El conjunto de nivel k de una función de 2 variables x e y es la sombra o la proyección de la curva que resulta de intersectar el gráfico de la función con el plano z = k.
Superficie de nivel:
F(x, y, z) = k
Ejemplo n° 1
3·x - 2·y + z = k | Para k = 1 | 3·x - 2·y + z = 1 | (x, y, z) (3, -2, 1) = k | ⇒ | Fijo | |
Para k = -2 | 3·x - 2·y + z = -2 | (x - a)·v = 0 ⇒ x·v = a·v |
⇒ Si varío k, varío el origen del plano (lo desplazo)
A medida que varío k me van quedando planos paralelos.
Ejemplo n° 2
F(x, y) = y - 2·x, x ⊂ ℜ²
Planteo F(x, y) = k, k ⊂ ℜ ⇒ y - 2·x = k ⇒ y = 2·x + k
F(x, y, z) = z - x² - y² - 4
Planteo F(x, y, z) = k ⇒ z - x² - y² - 4 = k ⇒ z = x² + y² + 4 + k
Parametrizaciones: Curvas en ℜ²
a.
F(x) = x², x ⊂ [-1, 4]
Ecuación cartesiana del gráfico de F: | y = F(x) = > Y = x², -1 ≤ x ≤ 4 |
Ecuación vectorial del gráfico de F | x = (t, t²), t ⊂ [-1, 4] |
Ecuaciones paramétricas del gráfico de F | x = t y = t², t ⊂ [-1, 4] |
La función g:[-1, 4] → ℜ² se denomina parametrización del gráfico de F y está definida por: g(t) = (t, t²), t ⊂ [-1, 4]
b.
F(x) = 2·x + 1, x ⊂ ℜ ecuación cartesiana y = 2·x + 1, x ⊂ ℜ.
Parametrización: intento x = t ⇒ y = 2·t + 1} g(t) = (t, 2·t + 1), t ⊂ ℜ
X = (t, 2·t + a), t ⊂ ℜ ecuación vectorial.
Parametrización de una circunferencia:
x² + y² = R² | EP x = R·cos (t), t ⊂ [0, 2·π] |
y = R·sen (t) | |
EV x = (R·cos (t), R·sen (t)), t ⊂ [0, 2·π] | |
G = (R·cos (t), R·sen (t)), t ⊂ [0, 2·π] |
Observación:
Para recorrer las curvas de manera inversa a la normal: de [a, b] pasa a [-b, -a]
Curva
Definición:
Dada una función g:[a, b] ⊂ ℜ → ℜn, contínua, se llama curva al conjunto imagen de g
Curva no completa = arco de curva.
Curvas en ℜ³
Z + y = 3 | EP = | x = t | |
Y = x² | y = t² | EVG(t) = (t, t², 3 - t²), t ⊂ ℜ | |
Z = 3 - t² |
Superficie
Definición:
Dada una función g: A ⊂ ℜ² → ℜn, contínua, se llama superficie al conjunto imagen de g
Límites: Propiedades:
Si | lim x → a |
F(x) = b ∧ | lim x → a |
g(y) = L |
lim x → a |
(g o F)(x) = L |
Si | lim x → a |
F(x) = L |
lim x → a |
Fi(x) = Li, 1 ≤ i ≤ m; (se acercan las componentes). |
Límites por curvas:
Si no ∃ el límite para alguna curva parametrizada por g tal que g(t0) = A ⇒ no ∃ | lim x → a |
F(x) |
Ejemplo n° 3
lim (x, y) → (1, 1) |
(x - y - 2)/(x - 1) |
Tomo y = 1 ⇒ | lim x → 1 |
(x - 1)/(x - 1) = 1 |
Tomo x = 1 ⇒ | lim y → 1 |
(y - 1)/(1 - y) = -1 |
Luego, no existe | lim (x, y) → (1, 1) |
F(x, y) = 1 |
Observación: La curva que propongo, debe pasar por el punto de trabajo del limite.
Recordar: |x| ≤ |x| ⇒ x² ≤ x² + y² ⇒ x²/(x² + y²) ≤ 1
Continuidad:
F contínua en x0 y G contínua en F(x0) ⇒ (G0F) contínua en x0
F contínua en x0 < = > Fi contínua en x0, 1 ≤ i ≤ m
Tipos de discontinuidad:
Esencial: cuando no existe F(x)
Evitable: cuando existe el lim pero no F(x0) o bien ∃ F(x0) pero lim ≠ F(x0)
Derivabilidad
Definición:
Derivada direccional: dada F:A ⊂ ℜn → ℜm, x0 y ř ⊂ ℜn, se define la derivada direccional de F en x0 según el versor ř como:
F'(x0,γ) = [F(x0 + h·γ) - F(x0)]/h = ∂F(x0)/∂γ
Propiedades: principio de homogeneidad: F'(x0, λ ř) = λ F'(x0, ř), λ ≠ 0, λ ⊂ ℜ
Propiedad 2: Si existe la derivada direccional en un punto, existen las derivadas de las componentes y viceversa.
Derivadas parciales: caso especial de direccionales. Una derivada parcial es una direccional respecto de un versor de la base canónica.
Regla práctica de calculo:
F(x, y) = ln (x² + y²)
F'x(x, y) = 2·x/(x² + y²)
F'y(x, y) = 2·y/(x² + y²)
Dom (F'x) I Dom (F)
Observación:
La derivada de un vector es la derivada de las componentes.
Interpretación geométrica:
Válida para F:A ⊂ ℜ² → ℜ
F'(x0, y0) = [F(x0 + h, y0) - F(x0, y0)]/h = tg α
Teorema del valor medio:
a.
Dada F:[a, b] → ℜ, contínua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c ⊂ (a, b) tal que:
F(b) - F(a) = F'(c)·(b - a)
b.
Dada F:A ⊂ ℜn → ℜ, A abierto y convexo, F ⊂ C¹, a ⊂ A y b ⊂ A, entonces:
F(b) - F(a) = F'(c, b - a) = F'(c, ř) |b - a|, γ = (b - a)/|b - a|, c ⊂ segmento a b, c ≠ a y c ≠ b
Aplicaciones a curvas:
Definición:
Punto regular: Dada C curva de ℜn, de ecuación vectorial x = g(t) t ⊂ A, se dice que A ⊂ C, A = g(t0), es un punto regular de C si:
- ∃ g'(t0) y
- g'(t0) ≠ 0
Observaciones:
- Si un punto no es regular se lo llama singular
- Si una curva tiene todos los puntos regulares ⇒ es regular
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Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)