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Límites en varias variables. AP01

Contenido: Definición de límites en varias variables. Continuidad.

Límites en varias variables

Definición: Sea f: U ⊂ ℜn → ℜm y a un punto de acumulación de U. Entonces se dice que:

Límite de x tendiendo a a f(X) = l ∈ ℜm

si:

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / x ∈ U, 0 < d(x, a) < δ → d(f(x), f) < ε

Gráficamente podemos verlo así:
Siempre existe un Δ tal que las imágenes de la parte de la bola de centro a y radio Δ que pertenece a U pertenecen a una bola de radio ε con centro en f.

Ejemplo:

Demostrar que

Cálculo del límite

d(f(x,y),2) < ε ⇔ d((x,y)(0,0)) < δ

d(f(x,y),2) = |f(x,y) - 2| =

Cálculo del límite

como

(x² + y²)½ < δ ⇒ |y| ≤ δ

d(f(x,y),2) ≤ 2·|y| ≤ 2·δ

δ = ε/2

Con lo que queda comprobado.

Definición: Decimos que el límite de f(x) es infinito si:

Límite de x tendiendo a a f(X) = ∞ ⇔ ∀ K > 0 ∃ δ > 0/x ∈ U, (0 < (d(x,a)) < δ) → d(f(x),0) > K

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a a, la distancia de la función al cero es muy grande.

Definición: Si E ⊂ ℜn es un contorno de a ∈ ℜn es, llamamos entorno perforado de aa E - {a} Propiedades:

  1. Si f(x) tiene límite en a, este es único.
  2. Si f(x),g(x): ℜn → ℜm tienen límites f1, f2 en a respectivamente, entonces:
    Límite de x tendiendo a a [f(x) ± g(x)] = l1 ± l2
  3. Si f(x),g(x): ℜn → ℜm tienen límites f1, f2 en a respectivamente, entonces:
    Límite de x tendiendo a a [f(xg(x)] = l1·l2
  4. Si además g(x) ≠ 0 en un entorno perforado de ay l2 ≠ 0, entonces:
    Límite de x tendiendo a a [f(x)/g(x)] = l1/l2

Observación: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como acercarnos al punto. Hay muchas maneras (por rectas, parábolas, cúbicas, etc). Pero como el límite ha de ser siempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos de acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.

Ejemplo:

Cálculo del límite

Nos acercamos por una trayectoria recta:

y = m·x

Cálculo del límite

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista; solo dice que si existiera debería ser ese.

Ejemplo:

Cálculo del límite

Si f(x) tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

y = x² - x³

Cálculo del límite

Luego el límite no existe.

Proposición: Sea f(x): U ⊂ ℜn → ℜm, f(x) = (f1(x), f2(x), …, fm(x)), y sea l = Límite de x tendiendo a a f(X),

f = (l1, l2, …, lm) ∈ ℜm

Entonces

Límite de x tendiendo a a f(X) = lLímite de x tendiendo a a fi(X) = li i = 1, …, m

TEOREMA (Del Sandwich): Supongamos que tenemos f,g,h: U ⊂ ℜn → R, y sea a un punto de acumulación de U. Si existe un entorno E de a tal que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) ∀ x ∈ (E - {a}) ∩ U y se verifica que:

Límite de x tendiendo a a g(X) = Límite de x tendiendo a a h(X) = l

Entonces:

Límite de x tendiendo a a f(X) = l

Ejemplo:

Cálculo del límite
Observación: Otro método de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy cómodo.

Ejemplo:

1) Cálculo del límite
Cálculo del límite

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2) Cálculo del límite
Cálculo del límite

Por el teorema del Sandwich

0

0

≤ |r²·cos θ·sen³ θ| ≤

0



0

Continuidad

Definición: Decimos que f: U ⊂ ℜn → ℜm es contínua en a, punto de acumulación de U, si:

  1. Existe f(a)
  2. Existe y es finito Límite de x tendiendo a a f(X)
  3. Límite de x tendiendo a a f(X) = f(a)

Propiedades:

  1. Si f,g: ℜn → ℜm son continuas en a, entonces f ± g es contínua en a
  2. Si f, g:ℜn → R son continuas en a, entonces f·g es contínua en a
  3. Si además g(a) ≠ 0, entonces f/g es contínua en a

Proposición: f = (f1, …, fm): ℜn → ℜm es contínua en a si y solo si f1:Rn → R son continuas en a para i = 1, …, m.

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