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Ejemplo, como hallar números complejos

Problema n° 3 de números complejos o imaginarios

Enunciado del ejercicio n° 3

Hallar el complejo "z" en cada uno de los siguientes casos:

a) 3·(1 + i) + z = -i

b) z = (-i)·(1 + i)

c) z = i·(1 + i)²

d) i·z = (1 + i)·(1 - i)

e) z = (2 + 3·i)² - 6·i

f) z = (-1+3·i
22

Solución

a)

3·(1 + i) + z = -i

Aplicamos distributiva del producto respecto a la suma:

3·1 + 3·i + z = -i

3 + 3·i + z = -i

Despejamos "z":

z = -i - 3 - 3·i

Resultado, el complejo "z" es:

z = -3 - 4·i

b)

z = (-i)·(1 + i)

Aplicamos distributiva del producto respecto a la suma:

z = -i·1 + (-i)·i

z = -i - i²

Como i² = -1:

z = -i - (-1)

z = -i + 1

Resultado, el complejo "z" es:

z = 1 - I

c)

z = i·(1 + i)²

Resolvemos el binomio al cuadrado:

z = i·(1² + 2·1·i + i²)

z = i·(1 + 2·i + i²)

Como i² = -1:

z = i·(1 + 2·i - 1)

z = i·2·i

z = 2·i²

z = 2·(-1)

Resultado, el complejo "z" es:

z = -2

d)

i·z = (1 + i)·(1 - i)

El segundo término es una diferencia de cuadrados, resolvemos:

i·z = 1² - i²

Como i² = -1:

i·z = 1 - (-1)

i·z = 1 + 1

i·z = 2

Despejamos "z":

z =2
i

La componente imaginaria no puede estar en el denominador, multiplicamos y dividimos por "i":

z =2·i
i·i
z =2·i
z =2·i
-1

Resultado, el complejo "z" es:

z = -2·i

e)

z = (2 + 3·i)² - 6·i

Resolvemos el binomio al cuadrado:

z = (2)² + 2·2·3·i + (3·i)² - 6·i

z = 2 + 2·2·3·i + 3·i² - 6·i

z = 2 + 2·6·i + 3·(-1) - 6·i

z = 2 + 6·i - 3

Resultado, el complejo "z" es:

z = -1 + 6·i

f)

z = (-1+3·i
22

Extraemos el denominador de la potencia:

z =(-1 + 3·i)³
8

Resolvemos el binomio al cubo:

z =(-1)³ + 3·(-1)²·3·i + 3·(-1)·(3·i)² + (3·i)³
8
z =-1 + 3·1·3·i - 3·1·3·i² + (3)³·i³
8

Como i² = -1 e i³ = -i:

z =-1 + 3·3·i - 9·(-1) + 3·3·(-i)
8
z =-1 + 3·3·i + 9 - 3·3·i
8
z =8
8

Resultado, el complejo "z" es:

z = 1

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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