Problema n° 9 de números complejos o imaginarios - TP03
Enunciado del ejercicio n° 9
Determinar los valores de "x" e "y" que verifiquen la siguiente igualdad:
| 2 - 3·i | · | x + y·i | = | 5 - i |
| 4 + 2·i | 4 - 2·i | 20 |
Solución
Para que se cumpla la igualdad solicitada se debe cumplir que las componentes reales sean iguales y, separadamente, que las componentes imaginarias cumplan la igualdad.
Resolvemos el producto del primer miembro:
| 2 - 3·i | · | x + y·i | = | 5 - i |
| 4 + 2·i | 4 - 2·i | 20 |
| (2 - 3·i)·(x + y·i) | = | 5 - i |
| 4² - (2·i)² | 20 |
| 2·x + 2·y·i - 3·i·x - 3·i·y·i | = | 5 - i |
| 4² - (2·i)² | 20 |
| 2·x + 2·y·i - 3·x·i - 3·y·i² | = | 5 - i |
| 16 - 4·i² | 20 |
Sabemos que i² = -1:
| 2·x + 2·y·i - 3·x·i - 3·y·(-1) | = | 5 - i |
| 16 - 4·(-1) | 20 |
| 2·x + 2·y·i - 3·x·i + 3·y | = | 5 - i |
| 16 + 4 | 20 |
| 2·x + 3·y - 3·x·i + 2·y·i | = | 5 - i |
| 20 | 20 |
En ambos miembros separamos los términos reales de los imaginarios:
| 2·x + 3·y | + | -3·x + 2·y | ·i = | 5 | + | -i |
| 20 | 20 | 20 | 20 |
Igualamos componente a componente, la parte real será:
| 2·x + 3·y | = | 5 |
| 20 | 20 |
La parte imaginaria será:
| -3·x + 2·y | = | -1 |
| 20 | 20 |
En ambas ecuaciones simplificamos el denominador:
2·x + 3·y = 5 (Re)
-3·x + 2·y = -1 (Im)
Resolvemos el sistema de ecuaciones de 2 por 2, de la segunda ecuación (Im) despejamos "x":
-3·x = -2·y - 1
| x = | 2·y + 1 |
| 3 |
Reemplazamos en la primera ecuación (Re):
2·x + 3·y = 5
| 2· | 2·y + 1 | + 3·y = 5 |
| 3 |
Resolvemos:
| 2·2·y + 2·1 | + 3·y = 5 |
| 3 |
| 4·y + 2 | + 3·y = 5 |
| 3 |
| 4·y + 2 + 3·3·y | = 5 |
| 3 |
4·y + 2 + 9·y = 5·3
13·y + 2 = 15
Despejamos "y":
13·y = 15 - 2
13·y = 13
y = 1
Reemplazamos:
| x = | 2·y + 1 |
| 3 |
| x = | 2·1 + 1 |
| 3 |
| x = | 2 + 1 |
| 3 |
| x = | 3 |
| 3 |
x = 1
Resultado, los valores de "x" e "y" que satisfacen la igualdad son:
x = 1
y = 1
Verificar.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, resolver igualdades con números complejos