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Ejemplo, resolver igualdades con números complejos

Problema n° 9 de números complejos o imaginarios

Enunciado del ejercicio n° 9

Determinar los valores de "x" e "y" que verifiquen la siguiente igualdad:

2 - 3·i·x + y·i=5 - i
4 + 2·i4 - 2·i20

Solución

Para que se cumpla la igualdad solicitada se debe cumplir que las componentes reales sean iguales y, separadamente, que las componentes imaginarias cumplan la igualdad.

Resolvemos el producto del primer miembro:

2 - 3·i·x + y·i=5 - i
4 + 2·i4 - 2·i20
(2 - 3·i)·(x + y·i)=5 - i
4² - (2·i)²20
2·x + 2·y·i - 3·i·x - 3·i·y·i=5 - i
4² - (2·i)²20
2·x + 2·y·i - 3·x·i - 3·y·i²=5 - i
16 - 4·i²20

Sabemos que i² = -1:

2·x + 2·y·i - 3·x·i - 3·y·(-1)=5 - i
16 - 4·(-1)20
2·x + 2·y·i - 3·x·i + 3·y=5 - i
16 + 420
2·x + 3·y - 3·x·i + 2·y·i=5 - i
2020

En ambos miembros separamos los términos reales de los imaginarios:

2·x + 3·y+-3·x + 2·y·i =5+-i
20202020

Igualamos componente a componente, la parte real será:

2·x + 3·y=5
2020

La parte imaginaria será:

-3·x + 2·y=-1
2020

En ambas ecuaciones simplificamos el denominador:

2·x + 3·y = 5 (Re)

-3·x + 2·y = -1 (Im)

Resolvemos el sistema de ecuaciones de 2 por 2, de la segunda ecuación (Im) despejamos "x":

-3·x = -2·y - 1

x =2·y + 1
3

Reemplazamos en la primera ecuación (Re):

2·x + 3·y = 5

2·y + 1+ 3·y = 5
3

Resolvemos:

2·2·y + 2·1+ 3·y = 5
3
4·y + 2+ 3·y = 5
3
4·y + 2 + 3·3·y= 5
3

4·y + 2 + 9·y = 5·3

13·y + 2 = 15

Despejamos "y":

13·y = 15 - 2

13·y = 13

y = 1

Reemplazamos:

x =2·y + 1
3
x =2·1 + 1
3
x =2 + 1
3
x =3
3

x = 1

Resultado, los valores de "x" e "y" que satisfacen la igualdad son:

x = 1

y = 1

Verificar.

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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