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Ejemplo, resolver ecuaciones con números complejos

Problema n° 2 de números complejos o imaginarios

Enunciado del ejercicio n° 2

Obtener los valores naturales de "x" que satisfagan:

x·(x - i) + (x + 0,8)·i + 8·x - 8,6 =-(1 - i)²
2 + i

Solución

En el primer miembro aplicamos distributiva del producto respecto a la suma y a la resta, en el segundo miembro resolvemos el binomio al cuadrado:

x·x - x·i + x·i + 0,8·i + 8·x - 8,6 =-(1² - 2·1·i + i²)
2 + i

Como i² = -1:

x² + 0,8·i + 8·x - 8,6 =-[1 - 2·i + (-1)]
2 + i

En el segundo miembro multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador:

x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =-(1 - 2·i - 1)·(2 - i)
(2 + i)·(2 - i)
x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =-(-2·i)·(2 - i)
2² - i²
x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =2·i·(2 - i)
4 - (-1)
x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =2·i·2 - 2·i·i
4 + 1
x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =4·i - 2·i²
5
x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =4·i - 2·(-1)
5
x² + 8·x - 8,6 + 0,8·i =4·i + 2
5

5·x² + 5·8·x - 5·8,6 + 5·0,8·i = 4·i + 2

5·x² + 40·x - 43 + 4·i = 4·i + 2

Igualamos a cero:

5·x² + 40·x - 43 - 2 + 4·i - 4·i = 0

Nos queda una ecuación de segundo grado, resolvemos aplicando la ecuación cuadrática (Báscara o Bhaskara) que dará dos resultados:

5·x² + 40·x - 45 = 0

x1,2 =-40 ± 40² - 4·5·(-45)
2·5

Resolvemos:

x1,2 =-40 ± 1.600 + 900
10
x1,2 =-40 ± 2.500
10
x1,2 =-40 ± 50
10

x1,2 = -4 ± 5

x1 = -4 + 5

x2 = -4 - 5

Resultado, los valores de "x" que satisfacen la igualdad son:

x1 = 1

x2 = -9

Verificar.

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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