Guía nº 4 de ejercicios con números complejos

Resolver los siguientes ejercicios

� Ver resolución de los ejercicios al pie de la página

Problema nº 1

Graficar las soluciones y el complejo dado:

a)

b)

c)

d)

Problema nº 2

Obtener los valores naturales de "x" que satisfagan:

• Respuesta: x₁ = 1; x₂ = -9

Problema nº 3

Representar todos los complejos para los cuales:

a) |Z₁| = 1 y φ₁ = π/4

b) |Z₂| = 1 y φ₂ = 7·π/4

c) Z₁·Z₂

Problema nº 4

Hallar en forma binómica, graficar e interpretar los siguientes complejos:

a)

b)

c)

Problema nº 5

¿Cuál debe ser la dependencia entre "x" e "y" para que (x + y·i)·(2 + 3·i) sea un número real?

• Respuesta: x = -⅔·y

Problema nº 6

Resolver el siguiente sistema en complejos:

(1 + i)·x - y·i = 2 + i

(2 + i)·x - (2 - i)·y = 2·i

Problema nº 7

Calcular Z², siendo:

Z = -|1 + i| + ·i

Problema nº 8

Hallar:

|Z² - |

Dado: Z = 1 + sen x + i·cos x

Problema nº 9

Utilizando la fórmula de De Moivre demostrar:

a) sen 2·x = 2·senx·cos x

b) cos 2·x = cos² x - sen² x

c) sen 3·x = 3·cos² x·sen x - sen³ x

d) cos 3·x = cos³ x - 3·cos x·sen² x

Problema nº 10

Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que satisfacen:

a) Re(z) = -2

b) Im(z) = ⅕

c) -2 ≤ Im(z) < 3

d) -0,5 < Re(z) < 0,5 ∧ |Z| = 2

e) ¼·π ≤ Arg(z) ≤ ¾·π ∧ |Z| < 2

f) Z - = i

g) |Z|² = Z +

h) - Z⁻¹ = 0

i) Z + Z⁻¹ ∈ ℜ

j) Z = Z²

k) Re(z) + 2·Im(z) = 0

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Operaciones con números complejos.