Gunía de ejercicios con números complejos.

Resolver los siguientes ejercicios:

Problema n° 1) Graficar las soluciones y el complejo dado:

Problema n° 2) Obtener los valores naturales de x que satisfagan:

x·(x - i) + (x + 0,8)·i + 8·x - 8,6 = -(1 - i)²/(2 + i)

Problema n° 3) Representar todos los complejos para los cuales:

a) |z₁| = 1 y φ₁ = π/4

b) |z₂| = 1 y φ₂ = 7·π/4

c) z₁·z₂

Problema n° 4) Hallar en forma binómica, graficar e interpretar los siguientes complejos:

Problema n° 5) ¿Cuál debe ser la dependencia entre x e y para que (x + y·i)·(2 + 3·i) sea un número real?

Problema n° 6) Resolver el siguiente sistema en complejos:

(1 + i)·x - y·i = 2 + i

(2 + i)·x - (2 - i)·y = 2·i

Problema n° 7) Calcular z², siendo:

z = -|1 + i| + √2·i

Problema n° 8) Hallar:

|z² - z|

Dado: z = 1 + sen x + i·cos x

Problema n° 9) Utilizando la fórmula de De Moivre demostrar:

a) sen 2·x = 2·senx·cos x

b) cos 2·x = cos² x - sen² x

c) sen 3·x = 3·cos² x·sen x - sen³ x

d) cos 3·x = cos³ x - 3·cos x·sen² x

Problema n° 10) Determinar los conjuntos de puntos del plano complejo que satisfacen:

a) Re(z) = -2

b) Im(z) = 1/5

c) -2 ≤ Im(z) < 3

d) -0,5 < Re(z) < 0,5 ∧ |z| = 2

e) π/4 ≤ Arg(z) ≤ 3·π/4 ∧ |z| < 2

f) z - z = i

g) |z|² = z + z

h) z - z^-1 = 0

i) z + z^-1 ∈ ℜ

j) z = z²

k) Re(z) + 2·Im(z) = 0