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Contenido: Método de Gauss. Ejercicios de operaciones con matrices.

Matrices invertibles

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1

Ejemplo:

Supongamos A = 25 
13
y B = 3-5 
-12

Entonces:

A·B = 25 · 3-5 = 6 - 5-10 + 10 = 10 = I
13-123 - 3-5 + 601
A·B = 3-5 · 25 = 6 - 515 - 15 = 10 = I
-1213-2 + 2-5 + 601

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

Método de Gauss

Sea A = (ax) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1. Construir la matriz n×2·n M = (A ⋮ I) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Paso 2. Se deja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos una matriz 3×3 arbitraria.

A = a11a12a13 
a21a22a23
a31a32a33

Paso 1

M = (A ⋮ I) = a11a12a13100 ~
a21a22a23010
a31a32a33001

Paso 2

 a11a12a13100 
0a11·a22 -
- a21·a12
a11·a23 -
- a21·a13
a11·0 -
- a21·1
a11·1 -
- a21·0
a11·0 -
- a21·0
0a11·a32 -
- a31·a12
a11·a33 -
- a31·a13
a11·1 -
- a31·1
a11·0 -
- a31·0
a11·1 -
- a31·0

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge como pivote el segundo término de la diagonal principal. Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.

Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.

Ejemplo: Supongamos que queremos encontrar la inversa de

A = 102 
2-13
418

Primero construimos la matriz M = (A ⋮ I),

M = 102100 
2-13010
418001
~ 102100 ~
0-1 - 2,03 - 2,20 - 21 - 2,00
01 - 4,08 - 4,20 - 401 - 0
~ 102100 
0-1-1-210
010-401

Luego se toma como pivote a22 = -1,

~ 102100 ~
0-1-1-210
000 - (-1)4 - (-2)0 - 1-1 - 0
~ 102100 ~
0-1-1-210
0016-1-1

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible). A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

~ 100-1122 
0-10401
0016-1-1

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

~ 100-1122 
010-401
0016-1-1

La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

A-1 = -1122 
-401
6-1-1

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.

Comprobación:

AA-1 = I

 102 · -1122 =
2-13-401
4186-1-1
= -11 + 0 + 122 + 0 - 22 + 0 - 2 = 100 = I
-22 + 4 + 184 + 0 - 34 - 1 - 3010
-44 - 4 + 488 + 0 - 88 + 1 - 8001

Ejemplo de operaciones con matrices

Ejemplo n° 1

Sean

A = 241 
1-23
50-1
B = 3-1-2 
056
009
C = 201 
0-12
1-25

1) ¿Qué clase de matrices son?

2) Calcular:

-A - B + C.

A + B - C

3·A + C/2

3) Calcular:

(A·B)/C

4) Calcular la inversa de A (A-1) y comprobar el resultado.

Solución

a.

Las tres matrices son cuadradas y de orden tres. A su vez, B es una matriz triangular, ya que todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros, y C es antisimétrica porque los elementos simétricos son opuestos entre sí.

b.

-A - B + C = - 241 - 3-1-2 + 201 =
1-230560-12
50-10091-25

Ejemplo de operaciones con matrices

A + B - C = 241 + 3-1-2 - 201 =
1-230560-12
50-10091-25

Ejemplo de operaciones con matrices

c.

Puesto que (A·B)/C = A·B·C-1, calcularemos primero la inversa de C y luego haremos el producto.

C-1 = 20-1100 
0-12010
1-25001
~ 20-1100 ~
0-12010
0-411-102
~ 20-1100 ~
0-12010
00-314-2
~ -600-24-2 ~
030-2-114
00-314-2

Dividimos la primera fila entre -6, la segunda entre 3 y la tercera entre -3 para que en la mitad izquierda quede la matriz identidad,

~ 100-1/3-2/31/3 
010-2/3-11/34/3
001-1/3-4/32/3

Por lo tanto, la matriz inversa de C es:

C-1 = -1/3-2/31/3 
-2/3-11/34/3
-1/3-4/32/3

A continuación, se calcula el producto de las matrices A y B,

A·B = 241 · 3-1-2 = 61829 ,
1-230563-1113
50-100915-5-19

Por último, calculamos (A·B)·C-1

Ejemplo del producto de matrices

Sacando factor común 1/3, el resultado puede escribirse como:

(A·B)·C-1 = (1/3)· 59326136 
1263-15
44101-43

d.

Primero se construye la matriz M = (A ⋮ I) y luego se va desarrollando por Gauss. Así pues:

M = (A ⋮ I) = 241100 ~
1-23010
50-1001
~ 241100 ~
0-85-120
00156-502
~ 241100 ~
0-85-120
00392040-16

Se simplifica un poco para que las operaciones no sean tan costosas, dividiendo la tercera fila entre cuatro. De este modo, se tiene

~ 241100 ~
0-85-120
0039510-4

y se contínua calculando,

~ 78156034-104 ~
0-3120-642820
0039510-4

Se vuelve a simplificar, dividiendo la primera fila entre dos y la segunda entre cuatro,

~ 3978017-52 ~
0-780-1675
0039510-4
~ -3.04200-78-156-546 ~
0-780-1675
0039510-4

Puesto que ya ha quedado una matriz diagonal en la mitad izquierda de M, se procede a transformar esta mitad izquierda en una matriz identidad, dividiendo la primera fila entre -3.042, la segunda entre -78 y la tercera entre 39,

~ 1001/392/397/39 ~
0108/39-7/78-5/78
0015/3910/39-4/39

Así pues, la matriz que ha quedado en la mitad derecha es precisamente la matriz identidad, que sacando factor común 1/78 se puede escribir como:

A-1 = (1/78)· 2414 
16-7-5
1020-8

Para comprobar el resultado, la matriz inversa de A o A-1, tiene que cumplir

A·A-1 = I.

Procedamos a la comprobación:

Ejemplo de cálculo de la inversa de una matriz

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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