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Contenido: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Método de Gauss. Ejercicios de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es la siguiente:

M = a11a12a1nb1 
a21a22a2·nb2
am1am2amnbm

Cada fila de M corresponde a una ecuación del sistema y cada columna a los coeficientes de una incógnita, excepto la última, que corresponde a las constantes del sistema. Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada, específicamente, reduciéndola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Método de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el método de Gauss. Este proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Sea el sistema,

x + 2·y + z = 3

2·x + 5·y - z = -4

3·x - 2·y - z = 2

Su matriz ampliada asociada es:

 xyz 
1213
25-1-4
3-2-12

Ahora resolvemos por el método de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde a los coeficientes de la x, la segunda a los de la y, la tercera a los de la z y la cuarta a los términos independientes:

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss

De este modo, el sistema tiene la solución única.

x = 2, y = -1, z = 3.

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el método de Gauss u otros, es una de las múltiples aplicaciones que tienen éstas.

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones lineales por matrices

Ejemplo n° 1

Hallar el valor de x, y, z, t en los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando matrices:

a.

x + y - 2·z + 4·t = 5

2·x + 2·y -3·z + t = 3

3·x + 3·y - 4·z - 2·t = 1

b.

x + y - 2·z + 3·t = 4

2·x + 3·y -3·z + t = 3

5·x + 7·y + 4·z + t = 5

a.

La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

M = xyzt 
11-245
22-313
33-4-21
~ xyzt 
11-245
001-7-7
002-14-14

La tercera fila se suprime, puesto que es múltiplo de la segunda y resultaría una fila nula. Así, el sistema queda formado por dos ecuaciones con cuatro incógnitas:

~ xyzt 
11-245
001-7-7
002-14-14

La solución del sistema es compatible e indeterminado, esto es, tiene infinitas soluciones.

x = -9 - y + 10·t

z = 7·t - 7 ó (- 9 - y + 10·t, y, 7·t - 7, t).

Dependiendo de qué valores se escojan para y y t, salen distintos resultados. Así, para y = t = 0 tendremos la solución del sistema.

x = -9, y = 0, z = -7, t = 0.

b.

La matriz M asociada al sistema de ecuaciones es:

M = xyzt 
11-234
233-16
57415
~ xyzt 
11-234
017-7-5
0214-14-15
~ xyzt 
11-234
017-7-5
0000-5

No hay necesidad de continuar calculando nada más, puesto que la matriz escalonada ya nos indica que el sistema es incompatible (SI), es decir, que no tiene solución. Específicamente, la tercera fila de la matriz escalonada corresponde a la ecuación

0·x + 0·y + 0·z + 0·t = -5

Obteniendo como resultado 0 = -5, que es absurdo. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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