Fisicanet ®

Aplicaciones de los determinantes

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo de cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo n° 1

Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a.

3·x + 2·y - z = 4
2·x - y + 2·z = 3
x + 3·y + 2·z = -5

A = 32-1 
2-12
132
(A ⋮ b) = 32-14 
2-123
132-5

Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

El rango de la matriz A será:

32= -3 - 4 = -7 ≠ 0; rango (A) ≥ 2
2-1
32-1= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 ≠ 0; rango (A) = 3
2-12
132

El rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

324= -15 + 6 + 24 + 4 - 20 - 27 = -28 ≠ 0; rango (A ⋮ b) = 3
2-13
135

Dado que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:

Calculamos el det (A):

det (A) =32-1= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35
2-12
132

Aplicando la regla de Cramer:

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer

x = 68/(-35); y = -53/(-35); z = -42/(-35).

Polinomio característico

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

= a11a12a1n 
a21a22a2·n
an1an2ann

La matriz (A - λ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

(A - λ·In) = a11 - λa12a1n 
a21a22 - λa2·n
an1an2ann - λ

Su determinante, det (A - λ·In), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a:

det (A - λ·In) = 0, ecuación característica de A.

Ejemplo n° 1

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

A = 1-2 
20

La matriz característica será (A - λ·In). Luego:

(A - λ·In) = 1 - λ-2 
20 - λ

y el polinomio característico,

det (A - λ·In) =1 - λ-2= (1 - λ)·(0 - λ) + 4 = λ² - λ + 4
20 - λ

Así pues, el polinomio característico es λ² - λ + 4.

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ ∈ Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v ∈ Kn para el que

Av = λ·v

Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.

Ejemplo n° 2

Sea:

A = 12 , y sean v1 = (2, 3) y v2 = (1, -1). Entonces
32
A·v1 = 12 , 2 = 8 = 4· 2 = 4·v1, y
323123
A·v2 = 12 , 1 = -1 = -1·v2
32-11

Así pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ1 = 4 y λ2 = -1 de A.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

Actualizado:

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.