Aplicaciones de los determinantes (segunda parte)

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo de cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo n° 1

Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

3·x + 2·y - z = 4
2·x - y + 2·z = 3
x + 3·y + 2·z = -5

A = 32-1 
2-12
132
(A ⋮ b) = 32-14 
2-123
132-5

Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

El rango de la matriz A será:

32= -3 - 4 = -7 ≠ 0
2-1

rango (A) ≥ 2

32-1= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 ≠ 0
2-12
132

rango (A) = 3

El rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

324= -15 + 6 + 24 + 4 - 20 - 27 = -28 ≠ 0
2-13
135

rango (A ⋮ b) = 3

Dado que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:

Calculamos el det (A):

det (A) =32-1= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35
2-12
132

Aplicando la regla de Cramer:

  4 2 -1 
3 -1 2
x =-5 3 2
-23
x =-8 - 20 - 9 + 5 - 12 - 24=-68=68
-23-2323
  3 4 -1 
2 3 2
y =1 -5 2
-23
y =18 +8 + 10 + 3 - 16 + 30=53=-53
-23-2323
  3 2 4 
2 -1 3
z =1 3 -5
-23
z =15 - 6 + 24 + 4 + 20 - 27=42=-42
-23-2323

x = 68/(-35); y = -53/(-35); z = -42/(-35).

Polinomio característico

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

= a11a12a1n 
a21a22a2·n
an1an2ann

La matriz (A - λ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

(A - λ·In) = a11 - λa12a1n 
a21a22 - λa2·n
an1an2ann - λ

Su determinante, det (A - λ·In), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a:

det (A - λ·In) = 0, ecuación característica de A.

Ejemplo n° 1

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

A = 1-2 
20

La matriz característica será (A - λ·In). Luego:

(A - λ·In) = 1 - λ-2 
20 - λ

y el polinomio característico,

det (A - λ·In) =1 - λ-2= (1 - λ)·(0 - λ) + 4
20 - λ

det (A - λ·In) = λ² - λ + 4

Así pues, el polinomio característico es λ² - λ + 4.

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ ∈ Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v ∈ Kn para el que

Av = λ·v

Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.

Ejemplo n° 2

Sea:

A = 12 ,
32

y sean v1 = (2, 3) y v2 = (1, -1). Entonces:

A·v1 = 12 , 2 = 8 = 4· 2 = 4·v1, y
323123
A·v2 = 12 , 1 = -1 = -1·v2
32-11

Así pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ1 = 4 y λ2 = -1 de A.

Autor: Jesús. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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