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Aplicaciones de los determinantes. AP12

Contenido: Regla de Cramer. Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales. Polinomio característico. Valores propios y vectores propios.

Aplicaciones de los determinantes

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1) Hallar la matriz ampliada (A ⋮ b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2) Calcular el determinante de A.

3) Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

  1. Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;
  2. Dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;
  3. Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

3·x - 2·y = 1

x + 5·y = 3

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A ⋮ b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

x

y

b

(A ⋮ b) =

 

3

-1

8

 

1

3

2

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

det A =

3

-2

= 15 + 2 = 17

1

5

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Este dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:

1) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución.

2) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución.

El primer caso puede dividirse en dos:

  1. Que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;
  2. Que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones.

Sea un sistema no homogéneo:

 

a11·x1 +

+ a1n·xn = b1

 

a21·x1 +

+ a2·n·xn = b2

am1·x1 +

+ amn·xn = bm

En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

A ⋮ b =

 

a11

a1n

b1

 

a21

a2·n

b2

am1

amn

bm

y el sistema será compatible cuando:

rango (A) = rango (A ⋮ b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A ⋮ b) = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución. Si, por el contrario, tenemos que rango (A) = rango (A ⋮ b) < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Si rango (A) ≠ rango (A ⋮ b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

Ejemplos:

Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

x + 2·y = 5

2·x + 4·y = 13

b.

3·x - y = 8

x + 3·y = 2

c.

6·x - 2·y = -10

3·x - y = -5

a.

x + 2·y = 5

2·x + 4·y = 13

A =

 

1

2

 

2

4

(A ⋮ I) =

 

1

2

5

 

2

4

13

rango (A) =

1

2

= 4 - 4 = 0; rango (A) = 1

2

4

rango (A ⋮ B) =

1

5

= 13 - 10 = 3 ≠ 0; rango (A ⋮ B) = 2

2

13

Puesto que rango (A) = 1 ≠ rango (A ⋮ b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solución.

b.

3·x - y = 8

x + 3·y = 2

A =

 

3

-1

 

1

3

(A ⋮ b) =

 

3

-1

8

 

1

3

2

rango (A) =

3

-1

= 9 + 1 = 10 ≠ 0; rango (A) = 2

1

3

rango (A ⋮ b) =

3

8

= 6 - 8 = -2 ≠ 0; rango (A ⋮ b) = 2

1

2

Ya que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 2 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una única solución.

c.

6·x - 2·y = -10

3·x - y = -5

A =

 

6

-2

 

3

-1

(A ⋮ b) =

 

6

-2

-10

 

3

-1

-5

rango (A) =

6

-2

= -6 + 6 = 0; rango (A) = 1

3

-1

rango (A ⋮ b) =

6

-10

= -30 + 30 = 0; de momento, rango (A ⋮ b) = 1

3

-5

rango (A ⋮ b) =

-2

-10

=10 - 10 = 0; rango (A ⋮ b) = 1

-1

-5

Puesto que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 1 < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones.

Ejemplo de cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo n° 1) Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a.

3·x + 2·y - z = 4

2·x - y + 2·z = 3

x + 3·y + 2·z = -5

A =

 

3

2

-1

 

2

-1

2

1

3

2

(A ⋮ b) =

 

3

2

-1

4

 

2

-1

2

3

1

3

2

-5

Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

El rango de la matriz A será:

3

2

= -3 - 4 = -7 ≠ 0; rango (A) ≥ 2

2

-1

3

2

-1

= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 ≠ 0; rango (A) = 3

2

-1

2

1

3

2

El rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

3

2

4

= -15 + 6 + 24 + 4 - 20 - 27 = -28 ≠ 0; rango (A ⋮ b) = 3

2

-1

3

1

3

5

Dado que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:

Calculamos el det (A):

det (A) =

3

2

-1

= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35

2

-1

2

1

3

2

Aplicando la regla de Cramer:

x = 68/(-35); y = -53/(-35); z = -42/(-35).

Polinomio característico

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

=

 

a11

a12

a1n

 

a21

a22

a2·n

an1

an2

ann

La matriz (A - λ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

(A - λ·In) =

 

a11 - λ

a12

a1n

 

a21

a22 - λ

a2·n

an1

an2

ann - λ

Su determinante, det (A - λ·In), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a:

det (A - λ·In) = 0, ecuación característica de A.

Ejemplo n° 1) Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

A =

 

1

-2

 

2

0

La matriz característica será (A - λ·In). Luego:

(A - λ·In) =

 

1 - λ

-2

 

2

0 - λ

y el polinomio característico,

det (A - λ·In) =

1 - λ

-2

= (1 - λ)·(0 - λ) + 4 = λ² - λ + 4

2

0 - λ

Así pues, el polinomio característico es λ² - λ + 4.

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ ∈ Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v ∈ Kn para el que

Av = λ·v

Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.

Ejemplo n° 2) Sea:

A =

 

1

2

 

, y sean v1 = (2, 3) y v2 = (1, -1). Entonces

3

2

A·v1 =

 

1

2

 

,

 

2

 

=

 

8

 

= 4·

 

2

 

= 4·v1, y

3

2

3

12

3

A·v2 =

 

1

2

 

,

 

1

 

=

 

-1

 

= -1·v2

3

2

-1

1

Así pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ1 = 4 y λ2 = -1 de A.

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