Aplicaciones de los determinantes (primera parte)

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1) Hallar la matriz ampliada (A ⋮ b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2) Calcular el determinante de A.

3) Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) Dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A ⋮ b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

Cálculo de sistemas de ecuaciones lineales

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

det A = = 15 + 2 = 17

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

Cálculo de determinantes

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Este dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:

1) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución.

2) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución.

El primer caso puede dividirse en dos:

a) Que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;

b) Que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones.

Sea un sistema no homogéneo:

Cálculo de sistemas de ecuaciones lineales

En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

Cálculo de sistemas de ecuaciones lineales

y el sistema será compatible cuando:

rango (A) = rango (A ⋮ b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A ⋮ b) = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución. Si, por el contrario, tenemos que rango (A) = rango (A ⋮ b) < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Si rango (A) ≠ rango (A ⋮ b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.