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Contenido: Regla de Cramer. Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales. Polinomio característico. Valores propios y vectores propios.

Aplicaciones de los determinantes

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1) Hallar la matriz ampliada (A ⋮ b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2) Calcular el determinante de A.

3) Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

  1. Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;
  2. Dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;
  3. Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

3·x - 2·y = 1

x + 5·y = 3

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A ⋮ b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

xyb
(A ⋮ b) = 3-18 
132

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

det A =3-2= 15 + 2 = 17
15

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

Cómo aplicar la regla de Cramer

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Este dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:

1) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución.

2) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución.

El primer caso puede dividirse en dos:

  1. Que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;
  2. Que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones.

Sea un sistema no homogéneo:

 a11·x1 + + a1n·xn = b1 
a21·x1 ++ a2·n·xn = b2
am1·x1 ++ amn·xn = bm

En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

A ⋮ b = a11a1nb1 
a21a2·nb2
am1amnbm

y el sistema será compatible cuando:

rango (A) = rango (A ⋮ b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A ⋮ b) = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución. Si, por el contrario, tenemos que rango (A) = rango (A ⋮ b) < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Si rango (A) ≠ rango (A ⋮ b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

Ejemplos:

Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a.

x + 2·y = 5

2·x + 4·y = 13

b.

3·x - y = 8

x + 3·y = 2

c.

6·x - 2·y = -10

3·x - y = -5

a.

x + 2·y = 5

2·x + 4·y = 13

A = 12 
24
(A ⋮ I) = 125 
2413
rango (A) =12= 4 - 4 = 0; rango (A) = 1
24
rango (A ⋮ B) =15= 13 - 10 = 3 ≠ 0; rango (A ⋮ B) = 2
213

Puesto que rango (A) = 1 ≠ rango (A ⋮ b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solución.

b.

3·x - y = 8

x + 3·y = 2

A = 3-1 
13
(A ⋮ b) = 3-18 
132
rango (A) =3-1= 9 + 1 = 10 ≠ 0; rango (A) = 2
13
rango (A ⋮ b) =38= 6 - 8 = -2 ≠ 0; rango (A ⋮ b) = 2
12

Ya que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 2 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una única solución.

c.

6·x - 2·y = -10

3·x - y = -5

A = 6-2 
3-1
(A ⋮ b) = 6-2-10 
3-1-5
rango (A) =6-2= -6 + 6 = 0; rango (A) = 1
3-1
rango (A ⋮ b) =6-10= -30 + 30 = 0; de momento, rango (A ⋮ b) = 1
3-5
rango (A ⋮ b) =-2-10=10 - 10 = 0; rango (A ⋮ b) = 1
-1-5

Puesto que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 1 < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones.

Ejemplo de cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo n° 1

Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a.

3·x + 2·y - z = 4

2·x - y + 2·z = 3

x + 3·y + 2·z = -5

A = 32-1 
2-12
132
(A ⋮ b) = 32-14 
2-123
132-5

Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

El rango de la matriz A será:

32= -3 - 4 = -7 ≠ 0; rango (A) ≥ 2
2-1
32-1= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 ≠ 0; rango (A) = 3
2-12
132

El rango de la matriz ampliada (A ⋮ b):

324= -15 + 6 + 24 + 4 - 20 - 27 = -28 ≠ 0; rango (A ⋮ b) = 3
2-13
135

Dado que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución. Resolvamos el sistema mediante la regla de Cramer:

Calculamos el det (A):

det (A) =32-1= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35
2-12
132

Aplicando la regla de Cramer:

Ejemplo de resolución de sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer

x = 68/(-35); y = -53/(-35); z = -42/(-35).

Polinomio característico

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

= a11a12a1n 
a21a22a2·n
an1an2ann

La matriz (A - λ·In), donde In es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

(A - λ·In) = a11 - λa12a1n 
a21a22 - λa2·n
an1an2ann - λ

Su determinante, det (A - λ·In), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a:

det (A - λ·In) = 0, ecuación característica de A.

Ejemplo n° 1

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

A = 1-2 
20

La matriz característica será (A - λ·In). Luego:

(A - λ·In) = 1 - λ-2 
20 - λ

y el polinomio característico,

det (A - λ·In) =1 - λ-2= (1 - λ)·(0 - λ) + 4 = λ² - λ + 4
20 - λ

Así pues, el polinomio característico es λ² - λ + 4.

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ ∈ Kn se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v ∈ Kn para el que

Av = λ·v

Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.

Ejemplo n° 2

Sea:

A = 12 , y sean v1 = (2, 3) y v2 = (1, -1). Entonces
32
A·v1 = 12 , 2 = 8 = 4· 2 = 4·v1, y
323123
A·v2 = 12 , 1 = -1 = -1·v2
32-11

Así pues, v1 y v2 son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ1 = 4 y λ2 = -1 de A.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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