Aplicaciones de los determinantes (primera parte)

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de Cramer, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes:

1) Hallar la matriz ampliada (A ⋮ b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2) Calcular el determinante de A.

3) Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:

a) Ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) Dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

3·x - 2·y = 1
x + 5·y = 3

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A ⋮ b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

xyb
(A ⋮ b) = 3-18 
132

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

det A =3-2= 15 + 2 = 17
15

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

 b y 
 1 -2 
x = 3 -5 =5 + 6=11
 17 1717
 x b 
 3 1 
y = 1 3 =9 - 1=8
 17 1717

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Este dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:

1) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución.

2) Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución.

El primer caso puede dividirse en dos:

a) Que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;

b) Que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones.

Sea un sistema no homogéneo:

 a11·x1 + + a1n·xn = b1 
a21·x1 ++ a2·n·xn = b2
am1·x1 ++ amn·xn = bm

En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

A ⋮ b = a11a1nb1 
a21a2·nb2
am1amnbm

y el sistema será compatible cuando:

rango (A) = rango (A ⋮ b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A ⋮ b) = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución. Si, por el contrario, tenemos que rango (A) = rango (A ⋮ b) < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Si rango (A) ≠ rango (A ⋮ b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

Ejemplos:

Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

x + 2·y = 5
2·x + 4·y = 13

b)

3·x - y = 8
x + 3·y = 2

c)

6·x - 2·y = -10
3·x - y = -5

a)

x + 2·y = 5
2·x + 4·y = 13

A = 12 
24
(A ⋮ I) = 125 
2413
rango (A) =12= 4 - 4 = 0
24

Rango (A) = 1

rango (A ⋮ B) =15= 13 - 10 = 3 ≠ 0
213

Rango (A ⋮ B) = 2

Puesto que rango (A) = 1 ≠ rango (A ⋮ B) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solución.

b)

3·x - y = 8
x + 3·y = 2

A = 3-1 
13
(A ⋮ b) = 3-18 
132
rango (A) =3-1= 9 + 1 = 10 ≠ 0
13

Rango (A) = 2

rango (A ⋮ b) =38= 6 - 8 = -2 ≠ 0
12

Rango (A ⋮ b) = 2

Ya que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 2 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una única solución.

c)

6·x - 2·y = -10
3·x - y = -5

A = 6-2 
3-1
(A ⋮ b) = 6-2-10 
3-1-5
rango (A) =6-2= -6 + 6 = 0
3-1

Rango (A) = 1

rango (A ⋮ b) =6-10= -30 + 30 = 0
3-5

De momento, rango (A ⋮ b) = 1

rango (A ⋮ b) =-2-10=10 - 10 = 0
-1-5

Rango (A ⋮ b) = 1

Puesto que rango (A) = rango (A ⋮ b) = 1 < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones.

Autor: Jesús. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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