Propiedades y operaciones de los vectores
• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo ā es el vector a.
El presente tema se dedica al estudio de los conceptos de vectores y números complejos.
Se comenzará con un pequeño estudio de los vectores del plano y sus propiedades fundamentales, así como de las bases y coordenadas.
Después se hará un somero estudio de los números complejos, enlazándolo con la primera parte del tema y con la trigonometría vista en capítulos anteriores.
El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.
Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc.
Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección suroeste, ya que se llegaría a distinto lugar.
Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1.862 - 1.943) y Stefan Banach (1.892 - 1.945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales, aplicándolos a las técnicas del análisis matemático.
Vectores fijos
Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa por AB, siendo los extremos A y B
A un segmento AB le corresponden dos vectores fijos distintos: AB y AB.
Se considera como caso singular el vector fijo definido por un segmento cuyos extremos coinciden. En este caso el vector fijo se reduce a un solo punto.
Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.
Módulo, dirección y sentido de un vector fijo
- En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.
El módulo de un vector fijo AB se representa por |AB| y se leerá «módulo de AB » - Se dice que un vector fijo tiene la misma dirección que otro si los segmentos que los definen pertenecen a rectas paralelas
- Dados dos vectores fijos AB y CD del plano que tengan la misma dirección, se dice que tienen el mismo sentido si los segmentos AD y BC (los segmentos que unen el origen de cada uno con el extremo del otro) tienen un punto en común. En otro caso se dice que los dos vectores tienen sentido contrario o sentido opuesto
También se puede decir que dos vectores de la misma dirección tienen el mismo sentido si la recta definida por sus orígenes deja a los extremos en el mismo semiplano.
Estas dos definiciones son válidas en el caso en que los dos vectores se encuentren en distinta recta. Si los dos vectores se encontrasen en la misma recta, se buscaría un vector fijo en una recta paralela que tuviese el mismo sentido que ambos. Si lo hubiese, se diría que los dos vectores tienen el mismo sentido. En otro caso se diría que los dos vectores tienen sentido contrario.
Vectores equipolentes
Se dice que dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Si AB y CD son equipolentes, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.
Vectores libres del plano
Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos del plano que son equipolentes a uno dado.
Como todos los vectores fijos del plano consistentes en un solo punto son equipolentes, definen un único vector libre, que recibirá el nombre de vector cero, ř
Representantes de un vector libre
A uno cualquiera de los vectores que constituyen un vector libre se le denomina representante del vector libre.
Para representar un vector libre se escribe uno cualquiera de sus representantes, o bien se escribe una letra con una flecha encima.
Resultado fundamental
Dados un punto P y un vector libre del plano, ā, existe un único representante de ā con origen en P. Igualmente se puede encontrar un único representante de ā con extremo en el punto P.
• Demostración:
Para construir un representante de ā con origen en P se traza una recta paralela al vector ā que contenga al punto P.
En ella, desde P, y con el mismo sentido que ā, se mide una distancia igual al módulo de ā, |ā|, obteniéndose un punto Q. El vector fijo PQ es un representante de ā.
Para hallar un representante de ā con extremo en P, se mide la distancia |ā| en sentido contrario, obteniendo el punto Q'. El representante de ā es, en este caso, el vector fijo Q'P.
Suma de vectores
Dados dos vectores libres del plano ā y b, se define su suma como el vector libre construido así:
- Se elige un punto arbitrario del plano, O
- Con origen en O se busca un representante del vector ā. Se llamará P a su extremo
- Con origen en P se busca el vector PQ, representante de b
- El vector suma ā + b viene representado por el vector fijo, OQ (se une el origen del representante de ā con el extremo del representante de b)
Propiedades de la suma de vectores
Conmutativa: Dados dos vectores del plano ā y b, ā + b = b + ā.
Asociativa: Dados tres vectores ā y b y c del plano, (ā + b) + c = ā + (b + c).
Elemento neutro: Dado ā, un vector cualquiera del plano, ā + 0 = 0 + ā = ā.
Es decir, el vector 0 es el elemento neutro de la operación suma de vectores libres del plano.
• Demostración:
Recuérdese que 0 es el vector del plano formado por todos los vectores fijos cuyo origen coincide con el extremo.
Se elige un punto fijo del plano, O, y con origen en O se busca el vector OP representante de ā.
Los vectores OO y PP son representantes del vector 0.
Así se tiene:
ā + 0 = OP + PP = OP = ā y 0 + ā = ā
Elemento simétrico: Dado un vector ā del plano, existe otro vector - ā, tal que,
ā + (- ā) = (- ā) + ā = 0. El vector - ā recibe el nombre de simétrico u opuesto de ā.
• Demostración:
Bastará con demostrar una de las dos igualdades:
Sea PQ un representante de ā. Considérese el vector - ā = QP.
ā + (- ā) = PQ + QP = PP = 0 y (- ā) + ā = 0
Como consecuencia de todas las propiedades vistas se dice que el conjunto de los vectores fijos del plano, junto con la suma de vectores, constituye un grupo conmutativo.
Observaciones:
1) Dado un vector ā, su opuesto - ā tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario al de ā, Basta con ver la construcción de - ā.
2) Dados dos vectores ā y b, existe un único vector x que verifica ā = x + b.
Si existe tal vector, sería: ā = b + x ⇒ (- b) + ā = (- b) + (b + x)
Por la propiedad asociativa, (- b) + (b + x) = [(- b) + b] + x = 0 + x = x
Así, el único vector que puede verificar tal propiedad es el vector x = (- b) + ā.
Falta ver que efectivamente la verifica:
b + x = b + [(- b) + ā] = [b + (- b)] + ā = 0 + ā = ā, que es la igualdad buscada.
El vector (-b) + ā recibe el nombre de diferencia entre los vectores ā y b, y suele representarse por ā - b.
Autor: Patricia Bati. Argentina.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
¿Qué son los vectores? Ejemplos. ¿Cuál es la diferencia entre la dirección y el sentido de un vector? ¿Qué es un vector libre?