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Ángulos entre dos vectores AP05

Contenido: Bases ortonormales. Ejercicios con bases ortonormales.

Ángulos entre dos vectores

5° parte

• Nota: En éste trabajo las letras con una raya arriba representan un vector, por ejemplo a es el vector a.

Ejemplo de cálculo del ángulo que forman dos vectores

Ejemplo n° 1) Dada la base del plano {u1, u2} donde |u1| = 2, |u2| = 1 y los vectores u1, u2 son perpendiculares, calcular el ángulo que forman los vectores a = 3·u1 - 2·u2 y b = 2·u1 + 5·u2

Solución

u1·u1 = |u1|² = 2² = 4

u1·u2 = u2·u1 = 0, ya que ambos vectores son perpendiculares, u2 = 6·4 + 15·0 - 4·0 - 10·1 = 14

De la misma forma:

a·a = (3·u1 - 2·u2)·(3·u1 - 2·u2) = 9·4 - 6·0 - 6·0 + 4·1 = 40

b·b = (2·u1 + 5·u2)·(2·u1 + 5·u2) = 4,4 + 10,0 + 10,0 + 25,1 = 41

Cálculo del ángulo entre vectores

cos α = 0,34

α = arccos 0,34 = 69,8°

Bases ortonormales

Se dice que una base {u1, u2} es ortogonal si los dos vectores que la forman tienen módulo 1 y son perpendiculares entre sí.

Cuando se trabaja con este tipo de bases es sencillo calcular los productos escalares, ya que

u1·u1 = |u1| = 1, porque u1 tiene módulo 1·u2·u2 = |u2| = 1, por el mismo argumento.

u1·u2 = 0, por ser perpendiculares ambos vectores.

Aplicando estos resultados a las fórmulas ya obtenidas, se tiene que dados los vectores

x = x1·u1 + x2·u2

y = y1·u1 + y2·u2

x·y = x1·y1 + x2·y2

x·x = x1² + x2²

Cálculo del módulo de la proyección entre vectores

y siendo α el ángulo que forman,

Cálculo del ángulo entre vectores

Ejercicios con bases ortonormales

En todos los ejercicios siguientes se considera que {u1, u2} es una base ortogonal ortonormal del plano.

Ejercicio n° 1) Hallar la proyección del vector a sobre el vector b, siendo a = 2·u1 + u2·y

b = 3·u1 + 2·u2

Solución

En primer lugar se calcula el módulo de dicha proyección. Para ello es conveniente recordar que el producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Cálculo del módulo de la proyección entre vectores

Para determinar la proyección se observa que, por ser ésta paralela al vector b será de la forma.

p = t·b, donde t es un número real. Como el producto escalar es positivo, esto quiere decir que la proyección p tiene el mismo sentido que b, con lo que t ha de ser positivo.

Entonces, |p| = |t·b| = t·|b|, con lo que t = |p|/|b|.

Sustituyendo:

t = 8/(13·13) = 8/13

Así, p = t·p = (8/13)·(3·u1 + 2·u2) = (24/13)·u1 + (16/13)·u2

Ejercicio n° 2) Hallar el área de un paralelogramo cuyos lados no paralelos son los vectores

a = 4·u1 - 3·u2 y b = 2·u1 + 3·u2

Solución

El área de un paralelogramo es igual al producto de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman:

S = |b|·h = |a|·|b|·sen α, puesto que sen α = h/|a|

Cálculo del ángulo entre vectores

Para calcular el seno de este ángulo se aplica la fórmula fundamental de la trigonometría: sen² α + cos² α = 1.

Así, sen² α = 1 - (-1/325)² = 1 - 1/325 = 324/325 ⇒ sen α = 18/325.

Y así el área es:

S = |a|·|b|·sen α = 25·13·(18/325) = 18

Ejercicio n° 3) Aplicando la definición de producto escalar, demostrar el teorema de Pitágoras.

Solución

Sea un triángulo rectángulo, llamando b y c a los vectores que se pueden construir en los catetos y a al vector de la hipotenusa, tal como se indica en la figura, se tiene a = b + c, donde:

|a|² = a·a = (b + c)·(b - c) = b·b + b·c + c·b + c·c

Pero, por ser un triángulo rectángulo, resulta que b·c = c·b = 0.

Así:

|a|² = b·b + c·c = |b|² + |c|², que es la expresión del teorema de Pitágoras

Ejercicio n° 4) Demostrar que las dos diagonales de un rombo son perpendiculares.

Solución

Sean a y b dos lados consecutivos del rombo. Sus diagonales son a + b y a - b.

Para ver que son perpendiculares bastará con comprobar que su producto escalar es 0:

(a + b)·(a - b) = a·a - a·b + b·a - b·b

Por la propiedad conmutativa del producto escalar, a·b = b·a. Así pues,

(a + b)·(a - b) = a·a - b·b = |a|² - |b

Hasta ahora no se ha utilizado el hecho de que se está trabajando con un rombo.

Esto significa que los dos lados |a| y |b| son iguales. Entonces (a + b)·(a - b) = |a|² - |b|² = 0,

Con lo que las dos diagonales son perpendiculares.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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