Análisis Matemático

Límites: Límite de una función racional en el infinito. Cálculo de límites de funciones irracionales.

CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES (II)

Límite de una función racional en el infinito

Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x → ±∞,son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.

El límite de una función racional cuando x → ±∞, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.

Si:

P(x) = a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn

Q (x) = b0 + b1.x + b2.x² + ... + bn.xn

Límite tendiendo a infinito P(x)/Q(x) = Límite tendiendo a infinito (a0 + a1.x + a2.x² + ... + an.xn)/(b0 + b 1.x + b 2.x² + ... + bm.xm) = Límite tendiendo a infinito (an.xn)/(bn.xn)

El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:

- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es ± ∞, dependiendo de que los signos de los cocientes an y bm sean iguales o distintos.

- Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es el cociente an/ bm.

- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n< m),el límite es 0.

Ejercicio: cálculo de límites de funciones racionales (x → ∞)

1) Calcular el límite de la función f(x) = (3.x² - 2.x - 5)/(x - 4), cuando x → ∞

Resolución:

En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞.

Límite tendiendo a infinito (3.x² - 2.x - 5)/(x - 4) = Límite tendiendo a infinito 3.x²/x = Límite tendiendo a infinito 3.x/1 = +∞

2) Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x² - 4), cuando x → ∞

Resolución:

El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:

Límite tendiendo a infinito (x³ - 5)/(-x² - 4) = Límite tendiendo a infinito x³/(-x²) =Límite tendiendo a infinito = x/(-1) = -∞

3) Calcular Límite tendiendo a infinito (-3.x² - 2.x + 5)/(4.x² - 4)

Resolución:

El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:

Límite tendiendo a infinito (-3.x² - 2.x + 5)/(4.x² - 4) = Límite tendiendo a infinito (-3.x²)/(4.x²) = -3/4

4) Calcular Límite tendiendo a infinito (x² - x + 1)/(x³ - 4.x + 3)

Resolución:

El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:

Límite tendiendo a infinito (x² - x + 1)/(x³ - 4.x + 3) = Límite tendiendo a infinito x²/x³ = Límite tendiendo a infinito 1/x = 0

Cálculo de límites de funciones irracionales

Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz.

Son funciones irracionales las siguientes:

f(x) = √x - 3

g(x) = 3.x - √x² + 5

h(x) = √x - 1/√x + 1

k(x) = x/√x

El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.

A. Cálculo del límite de una función irracional en un punto x0 finito

Estos límites se resuelven, en general, como si de una función racional se tratara.

En el caso de que, calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador.

Ejercicio: cálculo de límites de funciones irracionales (x → x0)

1) Calcular Límite tendiendo a 2x - 2

Resolución:

Límite tendiendo a 2x - 2 = √2 - 2 = 0

2) Calcular Límite tendiendo a 1 (√x - 1)/(x - 1)

Resolución:

Límite tendiendo a 1 (√x - 1)/(x - 1) = (√1 - 1)/(1 - 1) = 0/0, indeterminación.

- Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador, √x + 1:

Límite tendiendo a 1 (√x - 1)/(x - 1) = Límite tendiendo a 1 [(√x - 1).(√x + 1)]/[(x - 1).(√x + 1)] = Límite tendiendo a 1 (x - 1)/[(x - 1).(√x + 1)] = Límite tendiendo a 1 1/(√x + 1) = 1/(√1 + 1) = 1/2

3) Resolver el siguiente límite: Límite tendiendo a 5 (√x - √5)/(x - 5)

Resolución:

Límite tendiendo a 5 (√x - √5)/(x - 5) = (√5 - √5)/(5 - 5) = 0/0, indeterminación.

- Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por √5 + √5

Límite tendiendo a 5 (√x - √5)/(x - 5) = Límite tendiendo a 5 [(√x - √5).(√x + √5])/[(x - 5).(√x + √5)] = Límite tendiendo a 5 (x - 5)/[(x - 5).(√x + √5)] = Límite tendiendo a 5 1/(√x + √5) = 1/(√5 + √5) = 1/2.√5

Cálculo del límite de una función irracional en el infinito

B.1. Límites indeterminado de la forma ∞/∞

Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ∞/ ∞, ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales.

Ejercicio: cálculo de límites indeterminados de la forma ∞/∞

1) Calcular el límite de la función f(x) = (4.x³ - 2)/(√x - 3), cuando x → ∞

Resolución:

Límite tendiendo a infinito (4.x³ - 2)/(√x - 3) = ∞/∞, indeterminación.

- Haciendo uso de la regla mencionada, resulta:

Grado del numerador = 3

Grado del denominador = 1/2, (puesto que √x = x1/2)
Por lo tanto, Límite tendiendo a infinito (4.x³ - 2)/(√x - 3) = ∞

2) Calcular el límite de la función f(x) = CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES, cuando x → ∞

Resolución:

- Calculando el límite del numerador y del denominador se obtiene:

Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES = ∞/∞, indeterminación.

- Estudiando los grados:

Grado del numerador = 1

Grado del denominador = 1 (puesto que √ = x)

Por lo tanto, el límite es:

Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES = 5/√4 = 5/2

3) Calcular Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES

Resolución:

Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES = ∞/∞, indeterminación.

Grado del numerador: 5/2
Grado del denominador: 3

5/2 < 3

Por lo tanto, el límite es:

Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES = 0

B.2. Límites indeterminado de la forma ∞ - ¥

Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación

∞ - ¥ ésta se resuelve generalmente multiplicando y dividiendo la función por su conjugada.

Ejercicios: cálculo de límites indeterminados de la forma ∞ - ¥

Calcular el límite de la función y = √x² + 3 - x, cuando x → ∞.

Resolución:

Límite tendiendo a infinitox² + 3 - x = ∞ - ∞, indeterminación.
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, √x² + 3 + x

Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES = Límite tendiendo a infinito CALCULO DE LIMITES DE FUNCIONES = 3/(√1 - 1) = 3/2

Calcular el límite de la función y = √x - 3 - √x + 3, cuando x → ∞.

Resolución:

Límite tendiendo a infinitox - 3 - √x + 3 = ∞ - ¥, indeterminación.
Se multiplica y se divide la función por su conjugada,

x - 3 + √x + 3

Límite tendiendo a infinito (√x - 3 - √x + 3).(√x - 3 + √x + 3)/(√x - 3 + √x + 3) = Límite tendiendo a infinito (x - 3) - (x + 3)/(√x - 3 + √x + 3) = Límite tendiendo a infinito -6/(√x - 3 + √x + 3) = 0

Calcular el límite de la función f(x) = √x + 1 - x, cuando x → ∞.

Resolución:

Límite tendiendo a infinitox + 1 - x = ∞ - ∞, indeterminación.

Se multiplica y se divide la función por su conjugada, √x + 1 + x
Límite tendiendo a infinito (√x + 1 - x).(√x + 1 + x)/(√x + 1 + x) = Límite tendiendo a infinito (x + 1 - x²)/(√x + 1 + x) = -∞

Editor: Fisicanet ®

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