Matemática - Sistemas de Ecuaciones

Contenido

Apunte de Sistemas de Ecuaciones: Regla de Cramer. Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales. Ejercicio: cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales. Polinomio característico. Valores propios y vectores propios.

Aplicaciones de los determinantes

En el tema de matrices y su aplicación a los sistemas de ecuaciones lineales, se vio cómo resolverlas mediante el teorema de Gauss. Con los determinantes, y aplicando la regla de CRAMER, veremos otra manera de calcular los sistemas de ecuaciones lineales.

Regla de Cramer

Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de CRAMER son los siguientes:

1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A.

3 . Aplicar la regla de CRAMER, que consiste en:

a) ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes;

b) dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita;

c) continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

Encontrar el valor de x e y mediante la regla de CRAMER. Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

		x	y		b
(Ab) =		3	-1		8
		1	3		2

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues:

det A =	3	-2	= 15 + 2 = 17
	1	5

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

Discusión de los sistemas de ecuaciones lineales

A continuación, se estudiará la manera de saber de antemano si un sistema de ecuaciones lineales tienen o no solución y si tienen una única o infinitas soluciones. El estudio o discusión de los sistemas de ecuaciones se efectúa aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius. Este dice que con un sistema de ecuaciones lineales pueden ocurrir dos cosas:

1. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema compatible (S.C.), esto es, que tenga solución.

2. Que el sistema de ecuaciones sea un sistema incompatible (S.I.) o que no tenga solución.

El primer caso puede dividirse en dos:

a) que sea un sistema compatible y determinado (S.C.D.), esto es, que tenga una única solución;

b) que el sistema sea compatible e indeterminado (S.C.I.), es decir, que tenga infinitas soluciones.

Sea un sistema no homogéneo:

	a11.x1 +	...	+ a1n.xn = b1
	a21.x1 +	...	+ a2n.xn = b2
	...	...	...
	am1.x1 +	...	+ a mn.xn = bm

En consecuencia, la matriz ampliada Ab asociada al sistema de ecuaciones es:

Ab =		a11	...	a1n		b1
		a21	...	a2n		b2
		...	...	...		...
		am1	...	a mn		bm

y el sistema será compatible cuando:

rango (A) = rango (A b), lo que suele expresarse diciendo que el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada.

Si el sistema anterior es compatible y rango (A) = rango (A b) = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado, es decir, tiene una única solución. Si, por el contrario, tenemos que rango (A) = rango (A b) < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.

Si rango (A) ≠ rango (A b), el sistema es incompatible y no tiene ninguna solución.

Ejemplos:

Discutir, sin resolver, los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

b)

c)

a)

A =		1	2
		2	4

 

(AI) =		1	2		5
		2	4		13

 

rango (A) =	1	2	= 4 - 4 = 0; rango (A) = 1
	2	4

rango (AB) =	1	5	= 13 - 10 = 3 ≠ 0; rango (AB) = 2
	2	13

Puesto que rango (A) = 1 ≠ rango (A b) = 2, el sistema es incompatible; no existe ninguna solución.

b)

A =		3	-1
		1	3

 

(Ab) =		3	-1		8
		1	3		2

 

rango (A) =	3	-1	= 9 + 1 = 10 ≠ 0; rango (A) = 2
	1	3

 

rango (Ab) =	3	8	= 6 - 8 = -2 ≠ 0; rango (Ab) = 2
	1	2

Ya que rango (A) = rango (A b) = 2 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; es decir, existe una única solución.

c)

A =		6	-2
		3	-1

 

(Ab) =		6	-2		-10
		3	-1		-5

 

rango (A) =	6	-2	= -6 + 6 = 0; rango (A) = 1
	3	-1

rango (Ab) =	6	-10	= -30 + 30 = 0; de momento, rango (Ab) = 1
	3	-5

rango (Ab) =	-2	-10	=10 - 10 = 0; rango (Ab) = 1
	-1	-5

Puesto que rango (A) = rango (A b) = 1 < número de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado; existen infinitas soluciones.

Ejercicio: cálculo de las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales

Discutir y calcular el valor de las incógnitas de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

A =		3	2	-1
		2	-1	2
		1	3	2

 

(Ab) =		3	2	-1		4
		2	-1	2		3
		1	3	2		-5

 

Calculamos a continuación el rango de A y el rango de la matriz ampliada (A b):

El rango de la matriz A será:

3	2	= -3 - 4 = -7 ≠ 0; rango (A) ≥ 2
2	-1

3	2	-1	= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35 ≠ 0; rango (A) = 3
2	-1	2
1	3	2

El rango de la matriz ampliada (A b):

3	2	4	= -15 + 6 + 24 + 4 - 20 - 27 = -28 ≠ 0; rango (A b) = 3
2	-1	3
1	3	5

Dado que rango (A) = rango (A b) = 3 = número de incógnitas, el sistema es compatible y determinado; tiene, pues, una única solución. Resolvamos el sistema mediante la regla de CRAMER:

Calculamos el det (A):

det (A) =	3	2	-1	= -6 + 4 - 6 - 1 - 8 - 18 = -35
	2	-1	2
	1	3	2

Aplicando la regla de CRAMER:

x = 68/23; y = -53/23; z = -42/23.

Polinomio característico

Consideremos una matriz n-cuadrada arbitraria:

=		a11	a12	...	a1n
		a21	a22	...	a2n
		...	...	...	...
		an1	an2	...	ann

La matriz (A - λ ·I_n), donde I_n es la matriz identidad n-cuadrada y λ un escalar indeterminado, se denomina matriz característica de A:

(A - λ.In) =		a11 - λ	a12	...	a1n
		a21	a22 - λ	...	a2n
		...	...	...	...
		an1	an2	...	ann - λ

Su determinante, det (A - λ ·I_n), que es un polinomio en λ, recibe el nombre de polinomio característico de A. Asimismo, llamamos a

det (A - λ ·I_n) = 0

ecuación característica de A.

Ejemplo:

Hallar la matriz característica y el polinomio característico de la matriz A:

A =		1	-2
		2	0

La matriz característica será (A - λ ·I_n). Luego:

(A - λ.In) =		1 - λ	-2
		2	0 - λ

y el polinomio característico,

det (A - λIn) =	1 - λ	-2	= (1 - λ).(0 - λ) + 4 = λ ² - λ + 4
	2	0 - λ

Así pues, el polinomio característico es λ ² - λ + 4.

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz n-cuadrada sobre un cuerpo K. Un escalar λ Î Kⁿ se denomina un valor propio de A si existe un vector (columna) no nulo v Î Kⁿ para el que

Av = λ v

Todo vector que satisfaga esta relación se llama vector propio de A perteneciente al valor propio λ. Los términos valor característico y vector característico (o autovalor y autovector) se utilizan con frecuencia en lugar de valor propio y vector propio.

Ejemplo:

Sea

A =		1	2		, y sean v1 = (2,3) y v2 = (1,-1). Entonces
		3	2

 

A.v1 =		1	2		,		2		=		8		= 4.		2		= 4.v1, y
		3	2				3				12				3

 

A.v2 =		1	2		,		1		=		-1		= -1.v2
		3	2				-1				1

Así pues, v₁ y v₂ son vectores propios de A pertenecientes, respectivamente, a los valores propios λ ₁ = 4 y λ ₂ = -1 de A.