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Matrices y determinantes

Cálculo del rango de una matriz

Consideremos la matriz A = (aij):

A = a11a12a1n 
a21a22a2·n
am1am2amn

1) El rango de la matriz A coincide con el de la matriz A' que se obtiene suprimiendo en la matriz A todas la líneas (filas o columnas) cuyas entradas estén sólo formadas por ceros, es decir, que sean nulas.

2) Consideremos la matriz:

A1 = (a11, a12, …, a1n)

Y supongamos que a11 ≠ 0, entonces:

Rango (A) ≥ rango (A1) = 1

3) Añadimos filas de la matriz A a la matriz A1 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A2 = a11a1n , donde (1 < i ≤ n),:
ai1ain

Tal que posea un menor no nulo de la forma:

a11a1j≠ 0
ai1aij

Por consiguiente,

rango (A) ≥ rango (A2) = 2.

Si esto no hubiese sido posible, entonces:

rango (A) = 1.

Supongamos que rango (A) ≥ rango (A2) y que i = 2 y j = 2.

4) Añadimos filas a la matriz A2 hasta encontrar una matriz que cumpla:

A3 = a11a12a1j 
a21a22a2j
ai1ai1aij

De forma que posea un menor de orden tres de la forma:

a11a12a1j≠ 0
a21a22a2j
ai1ai2aij

Entonces:

rango (A) ≥ rango (A2) = 3.

En caso de no haber sido posible encontrar dicho menor, entonces:

rango (A) = rango (A2) = 2.

Suponiendo que rango (A) ≥ rango (A3) y que i = 3 y j = 3, se procedería como en los casos anteriores, y así sucesivamente hasta agotar todas las filas de la matriz A.

Ejemplos:

a.

Sea la matriz A una matriz de orden tres. Hallar el rango (A).

A = 12-5 
365
0-14

Como A es una matriz cuadrada de orden tres, como máximo el rango (A) puede valer tres. Calcularemos primero el determinante o determinantes de las submatrices de orden dos de A. Así pues

12= 6 - 6 = 0
36

Ya que el resultado es cero, probaremos con todas las submatrices de A hasta encontrar una cuyo determinante no sea cero. Si no encontramos ninguna, el rango (A) = 1.

1-5= 2 - (-15) = 2 + 15 = 17 ≠ 0
32

Puesto que el resultado de calcular el determinante de esta submatriz de A no es nulo, podemos afirmar de momento que el rango (A) = 2.

Añadimos ahora una columna y una fila más para ver si el rango puede ser tres:

12-5= 24 + 0 + 15 - 0 - 24 + 2 = 17 ≠ 0
362
0-14

Dado que el determinante de A no es nulo y a su vez es de orden tres, el rango

(A) = 3.

No necesariamente para poder calcular el rango de una matriz, ésta tiene que ser cuadrada. Así, en el siguiente ejemplo:

b.

Calcular el rango de la matriz B de orden 3×4.

B = 1-210 
2-42-1
1113
1-2= -4 + 4 = 0
2-4
11= 2 - 2 = 0
22
10= -1 + 0 = -1 ≠ 0
2-1

Como hay una determinante de orden dos no nulo, el rango de la matriz B es mayor o igual que 2. Calculamos a continuación los determinantes de orden superior:

1-21= -4 - 4 + 2 + 4 + 4 - 2 = 0
2-42
111

Probamos con un segundo determinante de orden tres:

1-20= -12 + 2 + 0 + 0 + 12 + 1 = 3 ≠ 0
2-4-1
113

Así pues, como hay un determinante de orden tres que no es nulo, el rango (B) = 3. Un rango mayor que 3 no se puede hallar, ya que no se puede formar un determinante de orden 4. Recuérdese que para poder calcular el determinante de una matriz o de una submatriz, éstas tienen que ser cuadradas.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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