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Contenido: Diferenciabilidad. Idea intuitiva. Definición. Notación.

Diferenciabilidad

Gráfica para interpretar la diferencial de una función
Gráfica para interpretar la diferencial de una función

Idea intuitiva: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector v y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U, y v ∈ ℜn, v ≠ 0. Entonces llamamos derivada de f según el vector v a:

Dv f(a) = Límite cuando t tiende a cero [f(a + t v) - f(a)]/t

Observación:

Si y ≠ 0, entonces:

Dλ v f(a) = λ·Dv f(a)

• Demostración:

Dλv f(a) = Límite cuando t tiende a cero [[f(a + λ·t v) - f(a)]/t]·(λ/λ) = λ·Límite cuando t tiende a cero [f(a + h v) - f(a)]/t = λ·Dv f(a)

Notación: Sea x ∈ ℜn. Entonces definimos la norma de x cómo:

Módulo de la norma de x

Definición:

Llamaremos derivada direccional de f según una dirección definida por v a la derivada según el vector: u = v/|| v||

Ejemplo n° 1

ƒ(x, y) =x·y²/(x² + y4)(x, y) ≠ (0, 0)
0(x, y) = (0, 0)

Dv f(0) = Límite cuando t tiende a cero [f(0 + t v) - f(0)]/t =

Derivada direccional

Dv ƒ(0) =sen² θ/cos θcos θ ≠ (0, 0)
0cos θ = (0, 0)

Existen todas las derivadas direccionales de ƒ, pero ƒ no es contínua en (0, 0)

Si hacemos x = m·y²

Discontinuidad

Luego el límite no existe y la función no es contínua.

Observación:

Si f = (ƒ1, …, ƒm): ℜn → ℜm, entonces:

Dv f(a) = (Dv f1(a), …, Dv fm(a))

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U. Entonces llamamos derivada parcial respecto de xi, i = 1, …, m a la derivada direccional de f según el vector e de la base canónica de ℜm. Lo representamos de la siguiente manera:

De, f = ∂f/∂xi

Ejemplo n° 2

ƒ(x, y) = x·ex² + y²

∂ƒ/∂x = (1 - 2·x²)·ex² + y²

∂ƒ/∂y = 2·x·y·ex² + y²

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Entonces se dice que f es diferenciable en a ∈ U si existe una aplicación lineal Df(a):U ⊂ ℜn → ℜm, que llamaremos diferencial de f en a, tal que:

Diferencial de f en a

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar f(a+ h) = f(a) + [Df(a)](h), sea una "o pequeña" de h, de tal manera que tiende más rápidamente a 0 que h. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

Observación:

Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo n° 3

ƒ(x, y) = (x² + y²)½

¿Existe Dƒ(O)?

M(Dƒ, Bc) = A = (α, β)

h = (h, k)

Función no diferenciable

Acercándonos por h = 0:

Función no diferenciable

Y por k = 0

Función no diferenciable

Luego la función no es diferenciable.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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