Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso. Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.

 
Mapa del sitio Ingresar Salir

Diferenciales. AP01

Contenido: Diferenciabilidad. Idea intuitiva. Definición. Notación.

Diferenciabilidad


Gráfica para interpretar la diferencial de una función

Idea intuitiva: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector v y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U, y v ∈ ℜn, v ≠ 0. Entonces llamamos derivada de f según el vector v a:

Dv f(a) = Límite cuando t tiende a cero [f(a + t v) - f(a)]/t

Observación:

Si y ≠ 0, entonces:

Dλ v f(a) = λ·Dv f(a)

• Demostración:

Dλv f(a) = Límite cuando t tiende a cero [[f(a + λ·t v) - f(a)]/t]·(λ/λ) = λ·Límite cuando t tiende a cero [f(a + h v) - f(a)]/t = λ·Dv f(a)

Notación: Sea x ∈ ℜn. Entonces definimos la norma de x cómo:

Módulo de la norma de x

Definición:

Llamaremos derivada direccional de f según una dirección definida por v a la derivada según el vector: u = v/|| v||

Ejemplo n° 1)

ƒ(x, y) =

x·y²/(x² + y4)

(x, y) ≠ (0, 0)

0

(x, y) = (0, 0)

Dv f(0) = Límite cuando t tiende a cero [f(0 + t v) - f(0)]/t =

Derivada direccional

Dv ƒ(0) =

sen² θ/cos θ

cos θ ≠ (0, 0)

0

cos θ = (0, 0)

Existen todas las derivadas direccionales de ƒ, pero ƒ no es contínua en (0, 0)

Si hacemos x = m·y²

Discontinuidad

Luego el límite no existe y la función no es contínua.

Observación:

Si f = (ƒ1, …, ƒm): ℜn → ℜm, entonces:

Dv f(a) = (Dv f1(a), …, Dv fm(a))

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, a, punto interior de U. Entonces llamamos derivada parcial respecto de xi, i = 1, …, m a la derivada direccional de f según el vector e de la base canónica de ℜm. Lo representamos de la siguiente manera:

De, f = ∂f/∂xi

Ejemplo n° 2) ƒ(x, y) = x·ex² + y²

∂ƒ/∂x = (1 - 2·x²)·ex² + y²

∂ƒ/∂y = 2·x·y·ex² + y²

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Entonces se dice que f es diferenciable en aU si existe una aplicación lineal Df(a):U ⊂ ℜn → ℜm, que llamaremos diferencial de f en a, tal que:

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar f(a+ h) = f(a) + [Df(a)](h), sea una "o pequeña" de h, de tal manera que tiende más rápidamente a 0 que h. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

Observación:

Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo n° 3) ƒ(x, y) = (x² + y²)½

¿Existe Dƒ(O)?

M(Dƒ, Bc) = A = (α, β)

h = (h, k)

Función no diferenciable

Acercándonos por h = 0:

Función no diferenciable

Y por k = 0

Función no diferenciable

Luego la función no es diferenciable.

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

Si has utilizado el contenido de esta página, por favor, no olvides citar la fuente "Fisicanet ®".

Por favor, "copia y pega" el enlace completo a ésta página.

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/diferenciales/ap01-diferenciales.php

¡Gracias!

Copyright © 2.000-2.028 Fisicanet ® Todos los derechos reservados

https://www.fisicanet.com.ar/matematica/diferenciales/ap01-diferenciales.php