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Diferenciabilidad

Idea intuitiva:

Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables.

La idea básica consiste en coger un vector v y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero.

Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

Gráfica para interpretar la diferencial de una función
Gráfica para interpretar la diferencial de una función

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, ā, punto interior de U, y v ∈ ℜn, v ≠ 0. Entonces llamamos derivada de f según el vector v a:

Dv f(ā) =lim
t → 0
f(ā + t·v) - f(ā)
t

Observación:

Si y ≠ 0, entonces:

Dλ v f(ā) = λ·Dv f(ā)

• Demostración:

Dλv f(ā) =lim
t → 0
f(ā + λ·t v) - f(ā)·λ=
tλ
Dλv f(ā) = λ·lim
t → 0
f(ā + h·v) - f(ā)= λ·Dv f(ā)
t

Notación: Sea x ∈ ℜn. Entonces definimos la norma de x cómo:

|x| = i²

Definición:

Llamaremos derivada direccional de f según una dirección definida por v a la derivada según el vector: ŭ = v/|| v||

Ejemplo n° 1

f(x, y) =x·y²/(x² + y4)(x, y) ≠ (0, 0)
0(x, y) = (0, 0)
Dv f(0) =lim
t → 0
f(0 + t·v) - f(0)=
t
  t³·cos θ·sen² θ 
=lim
t → 0
t²·cos² θ + t4·cos4 θ=
t
  t³·cos θ·sen² θ 
=lim
t → 0
t²·(cos² θ + t²·cos4 θ)=
t
=lim
t → 0
t³·cos θ·sen² θ=
t·t²·(cos² θ + t²·cos4 θ)
=lim
t → 0
cos θ·sen² θ
cos² θ + t²·cos4 θ
Dv f(0) =sen² θ/cos θcos θ ≠ (0, 0)
0cos θ = (0, 0)

Existen todas las derivadas direccionales de f, pero f no es contínua en (0, 0)

Si hacemos x = m·y²

lim
y → 0
f(m·y², y) =lim
y → 0
m·y4
m·y4 + y4
lim
y → 0
f(m·y², y) = m/(m + 1)

Luego el límite no existe y la función no es contínua.

Observación:

Si f = (f1, …, fm): ℜn → ℜm, entonces:

Dv f(ā) = (Dv f1(ā), …, Dv fm(ā))

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, ā, punto interior de U. Entonces llamamos derivada parcial respecto de xi, i = 1, …, m a la derivada direccional de f según el vector ē de la base canónica de ℜm. Lo representamos de la siguiente manera:

Dē, f = ∂f/∂xi

Ejemplo n° 2

f(x, y) = x·ex² + y²

∂f/∂x = (1 - 2·x²)·ex² + y²

∂f/∂y = 2·x·y·ex² + y²

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Entonces se dice que f es diferenciable en ā ∈ U si existe una aplicación lineal Df(ā):U ⊂ ℜn → ℜm, que llamaremos diferencial de f en ā, tal que:

lim
h → ū
f(ā + h) - f(ā) - [Df(ā)](h)= 0
||h||

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar f(ā+ h) = f(ā) + [Df(ā)](h), sea una "o pequeña" de h, de tal manera que tiende más rápidamente a 0 que h. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

Observación:

Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo n° 3

f(x, y) = (x² + y²)½

¿Existe Df(Ō)?

M(Df, Bc) = A = (α, β)

h = (h, k)

[Df(Ō)](h) = (α β)·(h) = α·h + β·k
k
¿∃ α,β ∈ ℜ /lim
(h, k) → (0, 0)
f[(0,0) + (h,k)] - f(0,0) - (α·h + β·k)= 0?
||h||
lim
(h, k) → (0, 0)
f[(0,0) + (h,k)] - f(0,0) - (α·h + β·k)=
||h||
=lim
(h, k) → (0, 0)
h² + k² - α·h - β·k=
h² + k²

Acercándonos por h = 0:

lim
k → 0
- β·k=lim
k → 0
|k| - β·k= f(β)
|k|
f(β)1 → β = 0
∄ → β ≠ 0

Y por k = 0

lim
h → 0
- α·h=lim
h → 0
|h| - α·h= f(α)
|h|
f(α)1 → α = 0
∄ → α ≠ 0

Luego la función no es diferenciable.

Autor: José Luis Martínez-Avial

España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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