Propiedades de los diferenciales. Ejemplos.
Idea intuitiva:
Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables.
La idea básica consiste en coger un vector 
y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero.
Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.
Gráfica para interpretar la diferencial de una función
Definición:
Sea 
, ā, punto interior de U, y 
. Entonces llamamos derivada de 
según el vector a:
Observación:
Si y ≠ 0, entonces:
• Demostración:
Notación: Sea 
∈ ℜⁿ. Entonces definimos la norma de cómo:
Definición:
Llamaremos derivada direccional de según una dirección definida por a la derivada según el vector: 
Ejemplo nº 1
Existen todas las derivadas direccionales de f, pero f no es contínua en (0, 0)
Si hacemos x = m·y²
Luego el límite no existe y la función no es contínua.
Observación:
Si 
: ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, entonces:
Definición:
Sea , ā, punto interior de U. Entonces llamamos derivada parcial respecto de xᵢ, i = 1, …, m a la derivada direccional de según el vector ē de la base canónica de ℜᵐ. Lo representamos de la siguiente manera:
Ejemplo nº 2
f(x, y) = x·ex² + y²
∂f/∂x = (1 - 2·x²)·ex² + y²
∂f/∂y = 2·x·y·ex² + y²
Definición:
Sea , U abierto. Entonces se dice que es diferenciable en ā ∈ U si existe una aplicación lineal 
:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, que llamaremos diferencial de en ā, tal que:
Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar 
, sea una "o pequeña" de 
, de tal manera que tiende más rápidamente a 0 que . Es decir, pedimos que el error tienda a cero.
Observación:
Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos
Ejemplo nº 3
f(x, y) = (x² + y²)½
¿Existe Df(Ō)?
M(Df, Bc) = A = (α, β)
= (h, k)
Acercándonos por h = 0:
Y por k = 0
Luego la función no es diferenciable.
Autor: José Luis Martínez-Avila. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).