Diferenciales en varias variables

Teorema (Taylor): Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ. U abierto, y f de clase C^m+1 en U, y a, x ∈ U, tales que el segmento L[a, x] de extremos a, x está incluido en U. Entonces existe ρ ∈ L[a, x] - {a, x} tal que:

por tanto:

Observación: Si hacemos x = a + h, entonces:

Aplicaciones del teorema de Taylor

Proposición:

1) Sea f: ℜⁿ → R entonces ∇f(a) es perpendicular a la curva (n = 2) o superficie (n = 3) de nivel que pasa por a.

Demostración:

Sea S una superficie de nivel de f, tal que a ∈ S

S = {(x,y,z)/f(x,y,z) = constante}

y sea a una curva α (0): I ⊂ R → ℜ³, tal que α(0) = a y α(I) = S

Si componemos f con α:

J(f o α)(t) = Jf(α (t))·J α(t) = ∇f(α(t))·(α´(t)) = 0
Por ser f(α(t)) = constante

t = 0

∇f(a)·(α´(0)) = 0 ⇒ ∇f(a) ˆ (α´(0))

Como α es genérica, ∇f(a) es perpendicular a toda curva de S, y por tanto es perpendicular a S.

2) Si f:R² → R es diferenciable en (x₀,y₀), entonces el plano tangente a la gráfica de f en el punto (X₀, Y₀, f(X₀, Y₀)) ∈ ℜ³ es:

π: z - z₀ = f_x(x₀, y₀)·(x - x₀) + f_y(x₀, y₀)·(y - y₀)

Ejemplo:

Calcular el plano tangente a S: x³ + 2·x²·y + z²·x² = 3 en p = (1,1,0)
f_x = 3·x² + 4·x·y + 2·z²·x

f_y = 2·x²

f_y = 2·z·x²
∇f(1, 1, 0) = (7, 2, 0)

π: 7·x + 2·y - 9 = 0

Definición: Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ , y a punto interior de U. Entonces:

1. f alcanza un máximo relativo en a si existe E, entorno de a, tal que f(x) ≤ f(a) ∀ x ∈ E
2. f alcanza un mínimo relativo en a si existe E, entorno de a, tal que f(x) ≥ f(a) ∀ x ∈ E
3. f alcanza un máximo absoluto en a si f(x) ≤ f(a) ∀ x ∈ U
4. f alcanza un mínimo absoluto en a si f(x) ≥ f(a) ∀ x ∈ U

Diremos que f alcanza un extremo relativo en a si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que f alcanza un extremo absoluto en a si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.

Teorema: Si f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ. es contínua en U, y U es un conjunto compacto de ℜⁿ, entonces f alcanza un máximo y un mínimo absolutos en U.

Teorema (Condición necesaria): Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ., y a punto interior de U. Si f es diferenciable en a y alcanza un extremo relativo en a, entonces Df(a) = 0

Observación: Los puntos en los que f es diferenciable y se verifica Df(a) = 0 se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.

Observación: Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.

Definición: Sea ω :ℜⁿ → R una forma cuadrática no nula:

1. Se dice que ω es definida positiva si ω (x) > 0 ∀ x ≠ 0
2. Se dice que ω es definida negativa si ω (x) < 0 ∀ x ≠ 0
3. Se dice que ω es semidefinida positiva si ω (x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℜⁿ y ω no es definida positiva
4. Se dice que ω es semidefinida negativa si ω (x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℜⁿ y ω no es definida negativa
5. Se dice que ω es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen x, y ∈ ℜⁿ, tales que ω (x) ω (y) < 0

Teorema (condición suficiente): Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ, U abierto, y supongamos que f es de clase C² en U. Sea a ∈ U un punto estacionario de f, es decir, tal que Df(a) = 0. Entonces:

1. Si D²f(a) es definida positiva, entonces f alcanza en a un mínimo relativo.
2. Si D²f(a) es definida negativa, entonces f alcanza en a un máximo relativo.
3. Si D²f(a) es indefinida, entonces f no alcanza en a un extremo relativo.

Observación:

1. Si D²f(a) es semidefinida (positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información.
2. A los puntos estacionarios para los que D²f(a) es indefinida se les llama puntos de silla de f.

Definición: Llamamos rango de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y signatura al número de autovalores positivos que posee (contando multiplicidad).

Observación: Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene n autovalores reales(contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero(contando multiplicidad).

Teorema: Sea ω: ℜⁿ → ℜ una forma cuadrática. Entonces:

1. ω es definida positiva si y solo si rang(ω) = n y sig(ω) = n.
2. ω es definida positiva si y solo si rang(ω) = n y sig(ω) = 0.
3. ω es semidefinida positiva si y solo si rang(ω) = sig(ω) < n.
4. ω es semidefinida positiva si y solo si rang(ω) < n y sig(ω) = 0.

Teorema (criterio de Sylvester): Sea Δ_k el determinante de orden k formado por los elementos de las k primeras filas y las k primeras columnas de la matriz asociada a ω. Entonces:

ω es definida positiva si y solo si Δ_k > 0, k = 1,2, …, n.

ω es definida negativa si y solo si (-1)^kΔ_k > 0, k = 1,2, …, n.

Observación: En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.

Definición: Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ y φ: U ⊂ ℜⁿ → ℜ^m (m < n) (ligadura). Sea también

S = {x ∈ U/φ(x) = 0}, y sea a ∈ S. Entonces se dice que f tiene en a un extremo relativo condicionado por la ligadura φ(x) = 0 si existe un entorno E de a tal que se verifica:

f(a) ≥ f(x) ∀ x ∈ E ∩ S. Entonces a es un máximo relativo condicionado por φ.

f(a) ≤ f(x) ∀ x ∈ E ∩ S. Entonces a es un mínimo relativo condicionado por φ.

Observación: Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie S = {x ∈ U/φ(x) = 0}, dada por una función que llamaremos ligadura.

Teorema (condición necesaria): Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ y φ: U ⊂ ℜⁿ → ℜ^m (m < n), U abierto, y f y φ de clase C¹ en U. Sea también a ∈ U, y supongamos que φ(a) = 0 y que el rango de D φ(a) sea m (los vectores gradiente son independientes). Si la función f tiene un extremo relativo en a condicionado por la ligadura φ(a) = 0, entonces existen λ₁, …, λ_m ∈ ℜ tales que la función g = f + λ₁·φ₁ + λ₂·φ₂ + … + λ_m·φ_m (Función de Lagrange o lagrangiano) verifica que Dg(a) = 0 (Tiene un punto estacionario en a)

Ejemplo:

Hallar los extremos de f(x,y,z) = x² + x·y + z³ condicionados por:

Es fácil darse cuenta que S es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

φ₁ = x² + y² - 1

φ₂ = x + z - 2

Construimos el lagrangiano

g = f + λ₁·φ₁ + λ₂·φ₂

Como sabemos que: Df(a) = 0, y por ser g:ℜ³ → ℜ, nos queda que ∇g = 0

g_x = 2·x + y + λ₁·(2·x) + λ₂ = 0

g_y = x + λ₁·(2·y) = 0

g_z = 3·z² + λ₂ = 0

Y además:

x² + y² = 1

x + z = 2

Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos

Observación: A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.

Teorema (condición suficiente): Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que f y φ sean de clase C² en U. Consideramos entonces la forma cuadrática ω = D²f(a) Entonces:

Si ω es definida positiva, entonces a es un mínimo relativo de f condicionado por φ

Si ω es definida negativa, entonces a es un máximo relativo de f condicionado por φ

Si ω es indefinida, entonces a no es un extremo relativo.

Cálculo (Búsqueda de extremos absolutos en compactos): Si f: D ⊂ ℜⁿ → ℜ., D compacto, sabemos que f tiene máximo y mínimo absolutos en D. Dichos extremos pueden ser del interior de D, y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de D. Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos f en dichos puntos.