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Diferenciales en varias variables
Teorema (Taylor)
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y ƒ de clase Cm+1 en U, y a, x ∈ U, tales que el segmento L[a, x] de extremos a, x está incluido en U. Entonces existe ρ ∈ L[a, x] - {a, x} tal que:
Por tanto:
Observación:
Si hacemos x = a + h, entonces:
Aplicaciones del teorema de Taylor
• Proposición:
1) Sea ƒ:ℜn → ℜ entonces ∇ƒ(a) es perpendicular a la curva (n = 2) o superficie (n = 3) de nivel que pasa por a.
• Demostración:
Sea S una superficie de nivel de ƒ, tal que a ∈ S
S = {(x, y, z)/ƒ(x, y, z) = constante}
Y sea a una curva α (0): I ⊂ ℜ → ℜ³, tal que α(0) = a y α(I) = S
Si componemos ƒ con α:
J(ƒ o α)(t) = Jƒ(α (t))·J α(t) = ∇ƒ(α(t))·(α'(t)) = 0
Por ser ƒ(α(t)) = constante
t = 0
∇ƒ(a)·(α'(0)) = 0 ⇒ ∇ƒ(a) ˆ (α'(0))
Como α es genérica, ∇ƒ(a) es perpendicular a toda curva de S, y por tanto es perpendicular a S.
2) Si ƒ:ℜ² → ℜ es diferenciable en (x0, y0), entonces el plano tangente a la gráfica de ƒ en el punto (X0, Y0, ƒ(X0, Y0)) ∈ ℜ³ es:
π: z - z0 = ƒx(x0, y0)·(x - x0) + ƒy(x0, y0)·(y - y0)
Ejemplo n° 1
Calcular el plano tangente a S: x³ + 2·x²·y + z²·x² = 3 en p = (1, 1, 0)
ƒx = 3·x² + 4·x·y + 2·z²·x
ƒy = 2·x²
ƒy = 2·z·x²
∇ƒ(1, 1, 0) = (7, 2, 0)
π: 7·x + 2·y - 9 = 0
Definición:
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ, y a punto interior de U. Entonces:
- ƒ alcanza un máximo relativo en a si existe E, entorno de a, tal que ƒ(x) ≤ ƒ(a) ∀ x ∈ E
- ƒ alcanza un mínimo relativo en a si existe E, entorno de a, tal que ƒ(x) ≥ ƒ(a) ∀ x ∈ E
- ƒ alcanza un máximo absoluto en a si ƒ(x) ≤ ƒ(a) ∀ x ∈ U
- ƒ alcanza un mínimo absoluto en a si ƒ(x) ≥ ƒ(a) ∀ x ∈ U
Diremos que ƒ alcanza un extremo relativo en a si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que ƒ alcanza un extremo absoluto en a si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.
Teorema:
Si ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ. es contínua en U, y U es un conjunto compacto de ℜn, entonces ƒ alcanza un máximo y un mínimo absolutos en U.
Teorema (condición necesaria):
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ., y a punto interior de U. Si ƒ es diferenciable en a y alcanza un extremo relativo en a, entonces Dƒ(a) = 0
Observación:
Los puntos en los que ƒ es diferenciable y se verifica Dƒ(a) = 0 se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.
Observación:
Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.
Definición:
Sea ω: ℜn → ℜ una forma cuadrática no nula:
- Se dice que ω es definida positiva si ω (x) > 0 ∀ x ≠ 0
- Se dice que ω es definida negativa si ω (x) < 0 ∀ x ≠ 0
- Se dice que ω es semidefinida positiva si ω (x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℜn y ω no es definida positiva
- Se dice que ω es semidefinida negativa si ω (x) ≤ 0 ∀ x ∈ ℜn y ω no es definida negativa
- Se dice que ω es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen x, y ∈ ℜn, tales que ω (x) ω (y) < 0
Teorema (condición suficiente):
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ, U abierto, y supongamos que ƒ es de clase C² en U. Sea a ∈ U un punto estacionario de ƒ, es decir, tal que Dƒ(a) = 0. Entonces:
- Si D²ƒ(a) es definida positiva, entonces ƒ alcanza en a un mínimo relativo
- Si D²ƒ(a) es definida negativa, entonces ƒ alcanza en a un máximo relativo
- Si D²ƒ(a) es indefinida, entonces ƒ no alcanza en a un extremo relativo
Observación:
- Si D²ƒ(a) es semidefinida (positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información
- A los puntos estacionarios para los que D²ƒ(a) es indefinida se les llama puntos de silla de f
Definición:
Llamamos rango de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y signatura al número de autovalores positivos que posee (contando multiplicidad).
Observación:
Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene n autovalores reales (contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero (contando multiplicidad).
Teorema:
Sea ω: ℜn → ℜ una forma cuadrática. Entonces:
- ω es definida positiva si y solo si rango (ω) = n y sig(ω) = n
- ω es definida positiva si y solo si rango (ω) = n y sig(ω) = 0
- ω es semidefinida positiva si y solo si rango (ω) = sig(ω) < n
- ω es semidefinida positiva si y solo si rango (ω) < n y sig(ω) = 0
Teorema (criterio de Sylvester):
Sea Δk el determinante de orden k formado por los elementos de las k primeras filas y las k primeras columnas de la matriz asociada a ω. Entonces:
ω es definida positiva si y solo si Δk > 0, k = 1, 2, …, n.
ω es definida negativa si y solo si (-1)kΔk > 0, k = 1, 2, …, n.
Observación:
En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.
Definición:
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ y φ: U ⊂ ℜn → ℜm (m < n) (ligadura). Sea también
S = {x ∈ U/φ(x) = 0}, y sea a ∈ S. Entonces se dice que ƒ tiene en a un extremo relativo condicionado por la ligadura φ(x) = 0 si existe un entorno E de a tal que se verifica:
ƒ(a) ≥ ƒ(x) ∀ x ∈ E ∩ S. Entonces a es un máximo relativo condicionado por φ.
ƒ(a) ≤ ƒ(x) ∀ x ∈ E ∩ S. Entonces a es un mínimo relativo condicionado por φ.
Observación:
Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie S = {x ∈ U/φ(x) = 0}, dada por una función que llamaremos ligadura.
Teorema (condición necesaria):
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ y φ: U ⊂ ℜn → ℜm (m < n), U abierto, y ƒ y φ de clase C¹ en U. Sea también a ∈ U, y supongamos que φ(a) = 0 y que el rango de D φ(a) sea m (los vectores gradiente son independientes). Si la función ƒ tiene un extremo relativo en a condicionado por la ligadura φ(a) = 0, entonces existen λ1, …, λm ∈ ℜ tales que la función g = ƒ + λ1·φ1 + λ2·φ2 + … + λm·φm (Función de Lagrange o lagrangiano) verifica que Dg(a) = 0 (Tiene un punto estacionario en a)
Ejemplo n° 2
Hallar los extremos de ƒ(x, y, z) = x² + x·y + z³ condicionados por:
S = | x² + y² = 1 |
x + z = 2 |
Es fácil darse cuenta que S es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.
φ1 = x² + y² - 1
φ2 = x + z - 2
Construimos el lagrangiano
g = ƒ + λ1·φ1 + λ2·φ2
Como sabemos que: Dƒ(a) = 0, y por ser g:ℜ³ → ℜ, nos queda que ∇g = 0
gx = 2·x + y + λ1·(2·x) + λ2 = 0
gy = x + λ1·(2·y) = 0
gz = 3·z² + λ2 = 0
Y además:
x² + y² = 1
x + z = 2
Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos
Observación:
A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.
Teorema (condición suficiente):
Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que ƒ y φ sean de clase C² en U. Consideramos entonces la forma cuadrática ω = D²ƒ(a) Entonces:
Si ω es definida positiva, entonces a es un mínimo relativo de ƒ condicionado por φ
Si ω es definida negativa, entonces a es un máximo relativo de ƒ condicionado por φ
Si ω es indefinida, entonces a no es un extremo relativo.
Cálculo (Búsqueda de extremos absolutos en compactos): Si ƒ:D ⊂ ℜn → ℜ., D compacto, sabemos que ƒ tiene máximo y mínimo absolutos en D. Dichos extremos pueden ser del interior de D, y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de D. Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos ƒ en dichos puntos.
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Autor: José Luis Martínez-Avial
España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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