Diferencial en varias variables
Teorema (Taylor)
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ. U abierto, y f de clase Cᵐ ⁺ ¹ en U, y 
∈ U, tales que el segmento L[] de extremos está incluido en U. Entonces existe 
∈ L[] - {} tal que:
Por tanto:
Observación:
Si hacemos 
, entonces:
Aplicaciones del teorema de Taylor
• Proposición:
1) Sea f:ℜⁿ ⟶ ℜ entonces ∇f(ā) es perpendicular a la curva (n = 2) o superficie (n = 3) de nivel que pasa por ā.
• Demostración:
Sea S una superficie de nivel de f, tal que ā ∈ S
S = {(x, y, z)/f(x, y, z) = constante}
Y sea ā una curva 
(0): I ⊂ ℜ ⟶ ℜ³, tal que 
Si componemos f con α:
Por ser f((t)) = constante
t = 0
Como α es genérica, ∇f(ā) es perpendicular a toda curva de S, y por tanto es perpendicular a S.
2) Si f:ℜ² ⟶ ℜ es diferenciable en (x₀, y₀), entonces el plano tangente a la gráfica de f en el punto (X₀, Y₀, f(X₀, Y₀)) ∈ ℜ³ es:
π: z - z₀ = fₓ(x₀, y₀)·(x - x₀) + fy(x₀, y₀)·(y - y₀)
Ejemplo nº 1
Calcular el plano tangente a S: x³ + 2·x²·y + z²·x² = 3 en p = (1, 1, 0)
fₓ = 3·x² + 4·x·y + 2·z²·x
fy = 2·x²
fy = 2·z·x²
∇f(1, 1, 0) = (7, 2, 0)
π: 7·x + 2·y - 9 = 0
Definición:
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, y ā punto interior de U. Entonces:
1) f alcanza un máximo relativo en ā si existe E, entorno de ā, tal que f(
) ≤ f(ā) ∀ ∈ E
2) f alcanza un mínimo relativo en ā si existe E, entorno de ā, tal que f() ≥ f(ā) ∀ ∈ E
3) f alcanza un máximo absoluto en ā si f() ≤ f(ā) ∀ ∈ U
4) f alcanza un mínimo absoluto en ā si f() ≥ f(ā) ∀ ∈ U
Diremos que f alcanza un extremo relativo en ā si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que f alcanza un extremo absoluto en ā si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.
Teorema:
Si f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ. es contínua en U, y U es un conjunto compacto de ℜⁿ, entonces f alcanza un máximo y un mínimo absolutos en U.
Teorema (condición necesaria):
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ., y ā punto interior de U. Si f es diferenciable en ā y alcanza un extremo relativo en ā, entonces Df(ā) = 0
Observación:
Los puntos en los que f es diferenciable y se verifica Df(ā) = 0 se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.
Observación:
Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.
Definición:
Sea ω: ℜⁿ ⟶ ℜ una forma cuadrática no nula:
1) Se dice que ω es definida positiva si ω () > 0 ∀ ≠ 0
2) Se dice que ω es definida negativa si ω () < 0 ∀ ≠ 0
3) Se dice que ω es semidefinida positiva si ω () ≥ 0 ∀ ∈ ℜⁿ y ω no es definida positiva
4) Se dice que ω es semidefinida negativa si ω () ≤ 0 ∀ ∈ ℜⁿ y ω no es definida negativa
5) Se dice que ω es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen , 
∈ ℜⁿ, tales que ω () ω () < 0
Teorema (condición suficiente):
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ, U abierto, y supongamos que f es de clase C² en U. Sea ā ∈ U un punto estacionario de f, es decir, tal que Df(ā) = 0. Entonces:
1) Si D²f(ā) es definida positiva, entonces f alcanza en ā un mínimo relativo
2) Si D²f(ā) es definida negativa, entonces f alcanza en ā un máximo relativo
3) Si D²f(ā) es indefinida, entonces f no alcanza en ā un extremo relativo
Observación:
1) Si D²f(ā) es semidefinida (positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información
2) A los puntos estacionarios para los que D²f(ā) es indefinida se les llama puntos de silla de f
Definición:
Llamamos rango de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y signatura al número de autovalores positivos que posee (contando multiplicidad).
Observación:
Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene n autovalores reales (contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero (contando multiplicidad).
Teorema:
Sea ω: ℜⁿ ⟶ ℜ una forma cuadrática. Entonces:
1) ω es definida positiva si y solo si rango (ω) = n y sig(ω) = n
2) ω es definida positiva si y solo si rango (ω) = n y sig(ω) = 0
3) ω es semidefinida positiva si y solo si rango (ω) = sig(ω) < n
4) ω es semidefinida positiva si y solo si rango (ω) < n y sig(ω) = 0
Teorema (criterio de Sylvester):
Sea Δₖ el determinante de orden k formado por los elementos de las k primeras filas y las k primeras columnas de la matriz asociada a ω. Entonces:
ω es definida positiva si y solo si Δₖ > 0, k = 1, 2, …, n.
ω es definida negativa si y solo si (-1)ᵏΔₖ > 0, k = 1, 2, …, n.
Observación:
En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.
Definición:
Sea 
(m < n) (ligadura). Sea también
S = {
, y sea ā ∈ S. Entonces se dice que f tiene en ā un extremo relativo condicionado por la ligadura 
si existe un entorno E de ā tal que se verifica:
∈ E ∩ S. Entonces ā es un máximo relativo condicionado por 
.
∈ E ∩ S. Entonces ā es un mínimo relativo condicionado por .
Observación:
Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie S = {, dada por una función que llamaremos ligadura.
Teorema (condición necesaria):
Sea (m < n), U abierto, y f y de clase C¹ en U. Sea también ā ∈ U, y supongamos que 
= 0 y que el rango de D sea m (los vectores gradiente son independientes). Si la función f tiene un extremo relativo en ā condicionado por la ligadura = 0, entonces existen λ₁, …, λₘ ∈ ℜ tales que la función g = f + λ₁·φ₁ + λ₂·φ₂ + … + λₘ·φₘ (Función de Lagrange o lagrangiano) verifica que Dg(ā) = 0 (Tiene un punto estacionario en ā)
Ejemplo nº 2
Hallar los extremos de f(x, y, z) = x² + x·y + z³ condicionados por:
Es fácil darse cuenta que S es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.
φ₁ = x² + y² - 1
φ₂ = x + z - 2
Construimos el lagrangiano
g = f + λ₁·φ₁ + λ₂·φ₂
Como sabemos que: Df(ā) = 0, y por ser g:ℜ³ ⟶ ℜ, nos queda que ∇g = 0
gₓ = 2·x + y + λ₁·(2·x) + λ₂ = 0
gy = x + λ₁·(2·y) = 0
gz = 3·z² + λ₂ = 0
Y además:
x² + y² = 1
x + z = 2
Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos
Observación:
A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.
Teorema (condición suficiente):
Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que f y sean de clase C² en U. Consideramos entonces la forma cuadrática ω = D²f(ā) Entonces:
Si ω es definida positiva, entonces ā es un mínimo relativo de f condicionado por
Si ω es definida negativa, entonces ā es un máximo relativo de f condicionado por
Si ω es indefinida, entonces ā no es un extremo relativo.
Cálculo (Búsqueda de extremos absolutos en compactos): Si f:D ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ., D compacto, sabemos que f tiene máximo y mínimo absolutos en D. Dichos extremos pueden ser del interior de D, y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de D. Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos f en dichos puntos.
Autor: José Luis Martínez-Avila. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es el gradiente de una función?