Propiedades de los diferenciales. Ejemplos.
Idea intuitiva:
Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n = 2.
Sea 
= (x, y) (pequeño), y f diferenciable en 
para ciertos α y β ∈ ℜ. Entonces:
f(ā + ) = f(ā) + α·x + β·y + 0(||||)
Puedo hacer f(ā + ) igual a la función en ā más el plano en un punto (x, y) tangente en ā, más un error pequeño.
Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(ā)) al plano z = α·x + β·y
Propiedades:
1) Si 
es diferenciable en ā, entonces la diferencial es única
2) 
: ℜⁿ ⟶ ℜᵐ es diferenciable en ā si y solo si fᵢ es diferenciable en ā i = 1, …, m. Además la diferencial es:
3) Si 
: ℜⁿ ⟶ ℜᵐ son diferenciadles en ā, entonces 
, f·g, (m = 1) son diferenciadles en ā, y se verifica:
a) 
b) 
c) 
• Proposición:
Sea 
. Si 
es diferenciable en ā ∈ U, entonces existe 
, y además 
• Demostración:
Observación:
Sea 
. Entonces:
Definición:
Sea f:ℜⁿ ⟶ ℜ. Entonces llamamos vector gradiente de f en ā a:
Observación:
1) Si f es diferenciable en ā, entonces 
2) 
. Dicha expresión es máxima cuando 
tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función
• Proposición:
Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.
Ejemplo una función derivable direccionalmente que no es diferenciable
Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:
Luego la función no es diferenciable.
Definición:
Sea diferenciable en ā. Entonces a la matriz asociada a la aplicación 
en las bases canónicas de ℜⁿ y ℜᵐ se le llama matriz jacobiana de en ā, y se denota 
Observación:
Estudiemos como es la matriz. Si , tomamos ē₁ ∈ ℜⁿ. Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:
Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:
Sea A = [0, +∞]x(0, 2·π] ⊂ ℜ² y g(r, θ) = (r, cos θ, r·sen θ))
• Proposición:
Si es diferenciable en ā, entonces es contínua en ā
• Demostración:
La haremos para f:ℜⁿ ⟶ ℜ
Hay que demostrar que:
Como es diferenciable en ā
Definición:
Sea , U abierto. Decimos que es de clase C¹ en ā ∈ U si todas las derivadas parciales de están definidas en un entorno de ā y además son continuas en ā.
Por consiguiente es de clase C¹ en U si lo es en todos los puntos de U
Teorema:
Si es de clase C¹ en ā, entonces es diferenciable en ā
Observación:
En general, el recíproco no es cierto.
Autor: José Luis Martínez-Avila. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es el gradiente y qué representa?