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Diferenciales

Idea intuitiva:

Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n = 2.

Sea x = (x, y) (pequeño), y f diferenciable en ā = (a, b), [Df(ā)](x) = α·x + β·y para ciertos α y β ∈ ℜ. Entonces:

f(ā + x) = f(ā) + α·x + β·y + 0(||x||)

Interpretación geométrica de la diferencial

Puedo hacer f(ā + x) igual a la función en ā más el plano en un punto (x, y) tangente en ā, más un error pequeño.

Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, f(ā)) al plano z = α·x + β·y

Propiedades:

1) Si f: ℜn → ℜm es diferenciable en ā, entonces la diferencial es única

2) f = (f1, …, fm): ℜn → ℜm es diferenciable en ā si y solo si fi es diferenciable en ā i = 1, …, m. Además la diferencial es:
Df(ā) = (D1 f(ā), …, Dm f(ā))

3) Si f, g: ℜn → ℜm son diferenciadles en ā, entonces λ·f, λ ∈ ℜ, f ± g, f·g, (m = 1) son diferenciadles en ā, y se verifica:

a) D(λ f)·(ā) = λ Df(ā)

b) D(f ± g)·(ā) = Df(ā) ± Dg(ā)

c) D(f. g)·(ā) = Df(ā). g(ā) + f(ā)·Dg(ā)

• Proposición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm. Si f es diferenciable en ā ∈ U, entonces existe D v f(ā), ∀ v ≠ 0, y además Dv f(ā) = [Df(ā)](v)

• Demostración:

Dv f(ā) =lim
t → 0
f(ā + t·v) - f(ā)=lim
t → 0
[Df(ā)] + o((||t·v||))
tt
Dv f(ā) =lim
t → 0
t·[Df(ā)](v) + o(|t|·||t·v||)= [Df(ā)](v)
t

Observación:

Sea f:ℜn → ℜ, y h = hi·ē. Entonces:

[Df(ā)](h) = [Df(ā)](hi·ēi)

[Df(ā)](h) = hi·[Df(ā)](ēi)

[Df(ā)](h) = hi·[Dēif(ā)]

[Df(ā)](h) = (∂f/∂xi)(ā)·hi

Definición:

Sea f:ℜn → ℜ. Entonces llamamos vector gradiente de f en ā a:

∇f(ā) = [∂f(ā), …,∂f(ā)]
∂x1∂xm

Observación:

1) Si f es diferenciable en ā, entonces Dv f(ā) = [Df(ā)](v) = ∇ f(ā) v

2) ∇. v = ||∇f||·|| v||·cos α = (Si v es unitario) = ||∇f||·cos α. Dicha expresión es máxima cuando v tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función

• Proposición:

Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.

Ejemplo una función derivable direccionalmente que no es diferenciable

f(x, y) =x·y²/(x² + y4)(x, y) ≠ (0, 0)
0(x, y) = (0, 0)

Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:

∂f(0, 0) =lim
t → 0
f(0 + t·0) - f(0, 0)
∂xt
∂f(0, 0) =lim
t → 0
0 - 0
∂xt
∂f(0, 0) = 0
∂x
∂f(0, 0) =lim
t → 0
f(0 + t·0) - f(0, 0)
∂yt
∂f(0, 0) =lim
t → 0
0 - 0
∂yt
∂f(0, 0) = 0
∂y

Luego si f fuera diferenciable, su diferencial sería cero

¿lim
h → 0
k → 0
f(0 + h, 0 + k) - f(0,0) - [Df(Ō)](h,k)= 0?
h² + k²
 h·k² 
lim
h → 0
k → 0
h² + k4= ∄
h² + k²

Luego la función no es diferenciable.

Definición:

Sea f: ℜn → ℜm diferenciable en ā. Entonces a la matriz asociada a la aplicación D f(ā) en las bases canónicas de ℜn y ℜm se le llama matriz jacobiana de f en ā, y se denota J f(ā)

Observación:

Estudiemos como es la matriz. Si f = (f1, …, fm), tomamos ē1 ∈ ℜn. Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

[Df(ā)](ē1) = Dē1f(ā)

[Df(ā)](ē1) =f(ā)
∂x1
[Df(ā)](ē1) = [f1(ā),…,fm(ā)]
∂x1∂x1

Matriz jacobiana

Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:

Sea A = [0, +∞]x(0, 2·π] ⊂ ℜ² y g(r, θ) = (r, cos θ, r·sen θ))

Jf(ā) = ∂g1·(ā)∂g1·(ā) 
∂r∂θ
∂g2·(ā)∂g2·(ā)
∂r∂θ
Jf(ā) = cos θ-r·sen θ 
sen θr·cos θ

• Proposición:

Si f:U ⊂ ℜn → ℜm es diferenciable en ā, entonces es contínua en ā

• Demostración:

La haremos para f:ℜn → ℜ

Hay que demostrar que:

lim
h → ū
f(ā + h) = f(ā) ⇔lim
h → ū
[f(ā + h) - f(ā)] = 0

Como f es diferenciable en ā

f(ā + h) - f(ā) = [Df(ā)](h) + o(||h||)

lim
h → ū
[f(ā + h) - f(ā)] =
=lim
h → ū
[Df(ā)](h) + o(||h||) =
=lim
h → ū
[Df(ā)](h) =
=lim
h → ū
[∂f·(ā)·h1 + … +∂f·(ā)·hn] = 0
∂x1∂xn

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, U abierto. Decimos que f es de clase C¹ en ā ∈ U si todas las derivadas parciales de f están definidas en un entorno de ā y además son continuas en ā.

Por consiguiente f es de clase C¹ en U si lo es en todos los puntos de U

Teorema:

Si f:U ⊂ ℜn → ℜm es de clase C¹ en ā, entonces es diferenciable en ā

Observación:

En general, el recíproco no es cierto.

Autor: José Luis Martínez-Avial

España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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¿Qué es el gradiente y qué representa?

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