Propiedades de los diferenciales. Ejemplos.

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f:U ⊂ ℜn ⟶ ℜm, y g: V ⊂ ℜm ⟶ ℜp, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en ā ∈ ℜn y g es diferenciable en f(ā), entonces g o f es diferenciable, y además:

D(g o f) = Dg(f(ā))·Df(ā)

Observación:

Por tanto J(g o f)·(ā) = Jg(f(ā))·J f(ā)

Ejemplo n° 1

f(u, v) = (eu + v, eu - v): ℜ² ⟶ ℜ²

g(x, y) = x·cos y:ℜ² ⟶ ℜ

g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v·cos eu - v

J(g o f) = ∂(g o f) ∂(g o f) = Jg·Jf
∂u∂v
Jg = ∂g ∂g 
∂x∂y
Jf = ∂f1 ∂f1 
∂u∂v
∂f2∂f2
∂u∂v
J(g o f) = ∂g·∂f1+∂g·∂f2  ∂g·∂f1+∂g·∂f2 
∂x∂u∂y∂u∂x∂v∂y∂v

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn ⟶ ℜm. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de ā ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación:

(f) =∂²f=∂²f
∂xi∂xi∂xi·xi∂xi²

Además, para simplificar:

fx = ∂f/∂x

fxy = ∂f/∂x∂y

Ejemplo n° 2

f(x, y) = x·sen y

∂f/∂x = sen y

∂f/∂y = x·cos y

(∂f) =∂²f=∂²f= 0
∂x∂x∂x∂x∂x²
(∂f) =∂²f= cos y
∂y∂x∂y∂x
(∂f) =∂²f= cos y
∂x∂y∂x∂y
(∂f) =∂²f=∂²f= -x·sen y
∂y∂y∂y∂y∂y²

Autor: José Luis Martínez-Avila. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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