Diferenciales

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f:U ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, y g: V ⊂ ℜ^m → ℜ^p, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en ā ∈ ℜⁿ y g es diferenciable en f(ā), entonces g o f es diferenciable, y además:

D(g o f) = Dg(f(ā))·Df(ā)

Observación:

Por tanto J(g o f)·(ā) = Jg(f(ā))·J f(ā)

Ejemplo n° 1

f(u, v) = (e^{u + v}, e^{u - v}): ℜ² → ℜ²

g(x, y) = x·cos y:ℜ² → ℜ

g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(e^{u + v}, e^{u - v}) = e^{u + v}·cos e^{u - v}

Matriz jacobiana

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜⁿ → ℜ^m. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de ā ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación: . Además, para simplificar: