Propiedades de los diferenciales. Ejemplos.
Teorema (Regla de la cadena)
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ, y g: V ⊂ ℜᵐ ⟶ ℜᵖ, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en ā ∈ ℜⁿ y g es diferenciable en f(ā), entonces g o f es diferenciable, y además:
D(g o f) = Dg(f(ā))·Df(ā)
Observación:
Por tanto J(g o f)·(ā) = Jg(f(ā))·J f(ā)
Ejemplo n° 1
f(u, v) = (eu + v, eu - v): ℜ² ⟶ ℜ²
g(x, y) = x·cos y:ℜ² ⟶ ℜ
g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v·cos eu - v
| J(g o f) = | ∂(g o f) | ∂(g o f) | = Jg·Jf | |||
| ∂u | ∂v |
| Jg = | ∂g | ∂g | |||
| ∂x | ∂y |
| Jf = | ∂f₁ | ∂f₁ | |||
| ∂u | ∂v | ||||
| ∂f₂ | ∂f₂ | ||||
| ∂u | ∂v |
| J(g o f) = | ∂g | · | ∂f₁ | + | ∂g | · | ∂f₂ | ∂g | · | ∂f₁ | + | ∂g | · | ∂f₂ | |||
| ∂x | ∂u | ∂y | ∂u | ∂x | ∂v | ∂y | ∂v |
Definición:
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜᵐ. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de ā ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.
Notación:
| ∂ | ( | ∂f | ) = | ∂²f | = | ∂²f |
| ∂xᵢ | ∂xᵢ | ∂xᵢ·xᵢ | ∂xᵢ² |
Además, para simplificar:
fₓ = ∂f/∂x
fxy = ∂f/∂x∂y
Ejemplo n° 2
f(x, y) = x·sen y
∂f/∂x = sen y
∂f/∂y = x·cos y
| ∂ | ( | ∂f | ) = | ∂²f | = | ∂²f | = 0 |
| ∂x | ∂x | ∂x∂x | ∂x² |
| ∂ | ( | ∂f | ) = | ∂²f | = cos y |
| ∂y | ∂x | ∂y∂x |
| ∂ | ( | ∂f | ) = | ∂²f | = cos y |
| ∂x | ∂y | ∂x∂y |
| ∂ | ( | ∂f | ) = | ∂²f | = | ∂²f | = -x·sen y |
| ∂y | ∂y | ∂y∂y | ∂y² |
Autor: José Luis Martínez-Avila. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)