Diferenciales

Teorema (Regla de la cadena): Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ^m, y g: V ⊂ ℜ^m → ℜ^p, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en a ∈ ℜⁿ y g es diferenciable en f(a), entonces go f es diferenciable, y además:

D(g o f) = D g(f(a))·D f(a)

Observación: Por tanto J(g o f)·(a) = J g(f(a))·J f(a)

Ejemplo:

f(u,v) = (e^{u + v}, e^{u - v}): ℜ² → ℜ²

g(x,y) = x·cos y : ℜ² → ℜ
g o f(u,v) = g(f(u,v)) = g(e^{u + v}, e^{u - v}) = e^{u + v}·cos e^{u - v}

Definición: Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ^m. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de a ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación: . Además, para simplificar:

f_x = ∂ f/∂x

f_xy = ∂ f/∂x∂y

Ejemplo:

f(x,y) = x·sen y

∂f/∂x = sen y

∂f/∂y = x·cos y

Teorema (Schwarz): Sea f: U ⊂ ℜ² → ℜ, U abierto, y a ∈ U. Si existen f_x, f_y, f_xy en un entorno de a y
f_xy es contínua en a, entonces existe f_xy(a) y además: f_yx(a) = f_xy(a). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

Definición: Decimos que una función es de clase C^m en a ∈ ℜⁿ si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en a. Análogamente decimos que una función es de clase C^m en A ⊂ ℜⁿ si lo es en todos los puntos de A.

Definición: Si f es de clase C² en a, llamamos diferencial segunda de f en a a:

Observación:

1. la diferencial segunda es una forma bilineal.
2. la diferencial segunda se puede representar matricialmente:

A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de f.

Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

En general:

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

Definición: Si f es de clase C^m en a, llamamos diferencial de orden m en a a:

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en a como un binomio a la m.

Definición: Sea f: U ⊂ ℜⁿ → ℜ. U abierto, y f de clase C^m en a. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de f en a como:

y el resto de Taylor de orden m como:

ℜ_m (f, a)·(x) = f(x) - T_m (f, a)·(x)