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Diferenciales
Teorema (Regla de la cadena)
Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, y g: V ⊂ ℜm → ℜp, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en ā ∈ ℜn y g es diferenciable en f(ā), entonces g o f es diferenciable, y además:
D(g o f) = Dg(f(ā))·Df(ā)
Observación:
Por tanto J(g o f)·(ā) = Jg(f(ā))·J f(ā)
Ejemplo n° 1
f(u, v) = (eu + v, eu - v): ℜ² → ℜ²
g(x, y) = x·cos y:ℜ² → ℜ
g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v·cos eu - v
Definición:
Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de ā ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.
Notación: . Además, para simplificar:
ƒx = ∂f/∂x
ƒxy = ∂f/∂x∂y
Ejemplo n° 2
ƒ(x, y) = x·sen y
∂ƒ/∂x = sen y
∂ƒ/∂y = x·cos y
Autor: José Luis Martínez-Avial
España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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