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Diferenciales

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, y g: V ⊂ ℜm → ℜp, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en ā ∈ ℜn y g es diferenciable en f(ā), entonces g o f es diferenciable, y además:

D(g o f) = Dg(f(ā))·Df(ā)

Observación:

Por tanto J(g o f)·(ā) = Jg(f(ā))·J f(ā)

Ejemplo n° 1

f(u, v) = (eu + v, eu - v): ℜ² → ℜ²

g(x, y) = x·cos y:ℜ² → ℜ

g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v·cos eu - v

Matriz jacobiana

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de ā ∈ U, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación: Diferenciales. Además, para simplificar:

ƒx = ∂f/∂x

ƒxy = ∂f/∂x∂y

Ejemplo n° 2

ƒ(x, y) = x·sen y

∂ƒ/∂x = sen y

∂ƒ/∂y = x·cos y

Diferenciales

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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