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Diferenciales. AP03

Contenido: Regla de la cadena. Teorema de Schwarz. Polinomio de Taylor. Orden de la derivada.

Diferenciales

Teorema (Regla de la cadena)

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm, y g: V ⊂ ℜm → ℜp, tal que f(U) ⊂ V. Si f es diferenciable en a ∈ ℜn y g es diferenciable en f(a), entonces g o f es diferenciable, y además:

D(g o f) = Dg(f(a))·Df(a)

Observación:

Por tanto J(g o f)·(a) = Jg(f(a))·J f(a)

Ejemplo n° 1) f(u, v) = (eu + v, eu - v): ℜ² → ℜ²

g(x, y) = x·cos y:ℜ² → ℜ

g o f(u, v) = g(f(u, v)) = g(eu + v, eu - v) = eu + v·cos eu - v

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn → ℜm. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de aU, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada al número total de veces que hemos derivado.

Notación: Diferenciales. Además, para simplificar:

ƒx = ∂f/∂x

ƒxy = ∂f/∂xy

Ejemplo n° 2) ƒ(x, y) = x·sen y

∂ƒ/∂x = sen y

∂ƒ/∂y = x·cos y

Diferenciales

Teorema (Schwarz)

Sea ƒ:U ⊂ ℜ² → ℜ, U abierto, y aU. Si existen ƒx, ƒy, ƒxy en un entorno de a y

ƒxy es contínua en a, entonces existe ƒxy(a) y además: ƒyx(a) = ƒxy(a). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

Definición:

Decimos que una función es de clase Cm en a ∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en a. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A.

Definición:

Si ƒ es de clase C² en a, llamamos diferencial segunda de ƒ en a a:

Diferencial segunda

Observación:

  1. La diferencial segunda es una forma bilineal
  2. La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de ƒ.

Por ser ƒ de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

Diferencial segunda

En general:

Diferencial segunda

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

Diferencial segunda

Definición:

Si ƒ es de clase Cm en a, llamamos diferencial de orden m en a a:

Diferencial de orden m

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en a como un binomio a la m.

Definición:

Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y ƒ de clase Cm en a. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de ƒ en a como:

Polinomio de Taylor

Y el resto de Taylor de orden m como:

m (ƒ, a)·(x) = ƒ(x) - Tm (ƒ, a)·(x)

Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separado decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o ×
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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