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Diferenciales
Teorema (Schwarz)
Sea f:U ⊂ ℜ² → ℜ, U abierto, y ā ∈ U. Si existen fx, fy, fxy en un entorno de ā y
fxy es contínua en ā, entonces existe fxy(ā) y además: fyx(ā) = fxy(ā). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.
Definición:
Decimos que una función es de clase Cm en ā ∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en ā. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A.
Definición:
Si f es de clase C² en ā, llamamos diferencial segunda de f en ā a:
D²f(ā):ℜn×ℜn → ℜ
| (h, k) → [D²f(ā)](h, k) = | n ∑ i·j = 1 | ∂²f | hi·kj |
| ∂xi·∂xj |
Observación:
1) La diferencial segunda es una forma bilineal
2) La diferencial segunda se puede representar matricialmente:
[D²f(ā)]·(h, k) =
A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de f.
Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.
3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:
[D²f(ā)](h, k) = [D²f(ā)](h²)
| [D²f(ā)](h, k) = | n ∑ i·j = 1 | ∂²f | hi·kj |
| ∂xi·∂xj |
n = 2
[D²f(ā)](h²) = f11(ā)·h1² + 2·f12(ā)·h1·h2 + f22(ā)·h2²
| [D²f(ā)](h²) = ( | ∂f | h1 + | ∂f | h2)²(ā) |
| ∂x1 | ∂x2 |
En general:
| [D²f(ā)](h²) = ( | ∂f | h1 + … + | ∂f | hn)²(ā) |
| ∂x1 | ∂xn |
[D²f(ā)](h²) = (∇f·h)²(ā)
Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.
Ejemplo: n = 2
| [D²f(ā)](h, k) = | 2 ∑ i·j = 1 | ∂²f | hi·kj = |
| ∂xi·∂xj |
= f11·h1·k1 + f12·h1·k2 + f21·h2·k1 + f22·h2·k1 =
| = (h1 h2)· | f11 | f12 | · | k1 | |||||
| f21 | f22 | k2 |
Definición:
Si f es de clase Cm en ā, llamamos diferencial de orden m en ā a:
| [Dmf(ā)](hm) = | n ∑ i1·i1·…·im = 1 | ∂mf | (ā)hi1·hi2·…·him |
| ∂xi1·∂xi2·…·∂xim |
Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en ā como un binomio a la m.
Definición:
Sea f:U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y f de clase Cm en ā. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de f en ā como:
| Tm(f, ā)·(x) = f(ā) + | m ∑ k = 1 | 1 | ·[Dkf(ā)]·(x - ā)k |
| k! |
Y el resto de Taylor de orden m como:
ℜm (f, ā)·(x) = f(x) - Tm (f, ā)·(x)
Autor: José Luis Martínez-Avial
España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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