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Diferenciales

Teorema (Schwarz)

Sea ƒ:U ⊂ ℜ² → ℜ, U abierto, y a ∈ U. Si existen ƒx, ƒy, ƒxy en un entorno de a y

ƒxy es contínua en a, entonces existe ƒxy(a) y además: ƒyx(a) = ƒxy(a). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

Definición:

Decimos que una función es de clase Cm en a ∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en a. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A.

Definición:

Si ƒ es de clase C² en a, llamamos diferencial segunda de ƒ en a a:

Diferencial segunda

Observación:

  1. La diferencial segunda es una forma bilineal
  2. La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

Matriz hessiana o hessiano

A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de ƒ.

Por ser ƒ de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

Diferencial segunda

En general:

Diferencial segunda

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

Diferencial segunda

Definición:

Si ƒ es de clase Cm en a, llamamos diferencial de orden m en a a:

Diferencial de orden m

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en a como un binomio a la m.

Definición:

Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y ƒ de clase Cm en a. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de ƒ en a como:

Polinomio de Taylor

Y el resto de Taylor de orden m como:

m (ƒ, a)·(x) = ƒ(x) - Tm (ƒ, a)·(x)

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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