Diferenciales: Teorema de Schwarz

Teorema (Schwarz)

Sea f:U ⊂ ℜ² ⟶ ℜ, U abierto, y ā ∈ U. Si existen fx, fy, fxy en un entorno de ā y

fxy es contínua en ā, entonces existe fxy(ā) y además: fyx(ā) = fxy(ā). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

Definición:

Decimos que una función es de clase Cm en ā ∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en ā. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A.

Definición:

Si f es de clase C² en ā, llamamos diferencial segunda de f en ā a:

D²f(ā):ℜn×ℜn ⟶ ℜ

(h, k) ⟶ [D²f(ā)](h, k) =n

i·j = 1
∂²fhi·kj
∂xi·∂xj

Observación:

1) La diferencial segunda es una forma bilineal

2) La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

[D²f(ā)]·(h, k) =

Matriz hessiana o hessiano

A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de f.

Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:

[D²f(ā)](h, k) = [D²f(ā)](h²)

[D²f(ā)](h, k) =n

i·j = 1
∂²fhi·kj
∂xi·∂xj

n = 2

[D²f(ā)](h²) = f11(ā)·h1² + 2·f12(ā)·h1·h2 + f22(ā)·h2²

[D²f(ā)](h²) = (∂fh1 +∂fh2)²(ā)
∂x1∂x2

En general:

[D²f(ā)](h²) = (∂fh1 + … +∂fhn)²(ā)
∂x1∂xn

[D²f(ā)](h²) = (∇f·h)²(ā)

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo: n = 2

[D²f(ā)](h, k) =2

i·j = 1
∂²fhi·kj =
∂xi·∂xj

= f11·h1·k1 + f12·h1·k2 + f21·h2·k1 + f22·h2·k1 =

= (h1  h2 f11 f12 · k1 
f21f22k2

Definición:

Si f es de clase Cm en ā, llamamos diferencial de orden m en ā a:

[Dmf(ā)](hm) =n

i1·i1·…·im = 1
mf(ā)hi1·hi2·…·him
∂xi1·∂xi2·…·∂xim

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en ā como un binomio a la m.

Definición:

Sea f:U ⊂ ℜn ⟶ ℜ. U abierto, y f de clase Cm en ā. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de f en ā como:

Tm(f, ā)·(x) = f(ā) +m

k = 1
1·[Dkf(ā)]·(x - ā)k
k!

Y el resto de Taylor de orden m como:

m (f, ā)·(x) = f(x) - Tm (f, ā)·(x)

Autor: José Luis Martínez-Avila. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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