Diferenciales: Teorema de Schwarz
Teorema (Schwarz)
Sea f:U ⊂ ℜ² ⟶ ℜ, U abierto, y ā ∈ U. Si existen fₓ, fy, fxy en un entorno de ā y
fxy es contínua en ā, entonces existe fxy(ā) y además: fyx(ā) = fxy(ā). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.
Definición:
Decimos que una función es de clase Cᵐ en ā ∈ ℜⁿ si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en ā. Análogamente decimos que una función es de clase Cᵐ en A ⊂ ℜⁿ si lo es en todos los puntos de A.
Definición:
Si f es de clase C² en ā, llamamos diferencial segunda de f en ā a:
D²f(ā):ℜⁿ×ℜⁿ ⟶ ℜ
Observación:
1) La diferencial segunda es una forma bilineal
2) La diferencial segunda se puede representar matricialmente:
A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de f.
Por ser f de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.
3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:
n = 2
En general:
Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.
Ejemplo: n = 2
= f₁₁·h₁·k₁ + f₁₂·h₁·k₂ + f₂₁·h₂·k₁ + f₂₂·h₂·k₁ =
Definición:
Si f es de clase Cᵐ en ā, llamamos diferencial de orden m en ā a:
Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en ā como un binomio a la m.
Definición:
Sea f:U ⊂ ℜⁿ ⟶ ℜ. U abierto, y f de clase Cᵐ en ā. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de f en ā como:
Y el resto de Taylor de orden m como:
Autor: José Luis Martínez-Avila. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).