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Diferenciales
Teorema (Schwarz)
Sea ƒ:U ⊂ ℜ² → ℜ, U abierto, y a ∈ U. Si existen ƒx, ƒy, ƒxy en un entorno de a y
ƒxy es contínua en a, entonces existe ƒxy(a) y además: ƒyx(a) = ƒxy(a). Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.
Definición:
Decimos que una función es de clase Cm en a ∈ ℜn si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en a. Análogamente decimos que una función es de clase Cm en A ⊂ ℜn si lo es en todos los puntos de A.
Definición:
Si ƒ es de clase C² en a, llamamos diferencial segunda de ƒ en a a:
Observación:
- La diferencial segunda es una forma bilineal
- La diferencial segunda se puede representar matricialmente:
A dicha matriz se la llama Matriz hessiana o hessiano de ƒ.
Por ser ƒ de clase C², se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.
3) Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbólicamente a una binomio:
En general:
Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.
Ejemplo: n = 2
Definición:
Si ƒ es de clase Cm en a, llamamos diferencial de orden m en a a:
Igualmente se puede expresar la diferencial de orden m en a como un binomio a la m.
Definición:
Sea ƒ:U ⊂ ℜn → ℜ. U abierto, y ƒ de clase Cm en a. Entonces se define en polinomio de Taylor de orden m de ƒ en a como:
Y el resto de Taylor de orden m como:
ℜm (ƒ, a)·(x) = ƒ(x) - Tm (ƒ, a)·(x)
Autor: José Luis Martínez-Avial
España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
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