Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

Problema n° 1 de ecuaciones diferenciales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1

y" - 2·y' - 3·y = e^-x/2

Cálculo de las raíces:

λ² -2·λ - 3 = 0

λ₁ = (2 + 4)/2 ⇒ λ₁ = 6/2 λ₁ = 3

λ₂ = (2 - 4)/2 ⇒ λ₁ = -2/2 λ₁ = -1

La integral homogénea es:

y* = c₁·e^3·x + c₂·e^-1·x

Cálculo de la integral particular:

y = a·x⁵·e^-x

Como:

s = 1

y = a·x·e^-x

Sus derivadas son:

y' = a·e^-x - a·x·e^-x

y" = -a·e^-x - (a·e^-x - a·x·e^-x)

y" = -a·e^-x - a·e^-x + a·x·e^-x

y" = -2·a·e^-x + a·x·e^-x

Debe verificar:

(-2·a·e^-x + a·x·e^-x) - 2·(a·e^-x - a·x·e^-x) - 3·(a·x·e^-x) = e^-x/2

-2·a·e^-x + a·x·e^-x - 2·a·e^-x + 2·a·x·e^-x - 3·a·x·e^-x = e^-x/2

-2·a·e^-x - 2·a·e^-x + a·x·e^-x + 2·a·x·e^-x - 3·a·x·e^-x = e^-x/2

-4·a·e^-x = e^-x/2

-4·a = ½

a = -⅛

La integral particular es:

y = -x·e^-x/8

Luego la integral general es:

y = y* + y

y* = C₁·e^3·x + C₂·e^-1·x - x·e^-x/8

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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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