Problema n° 1 de ecuaciones diferenciales - TP01
Enunciado del ejercicio n° 1
y" - 2·y' - 3·y = e-x/2
Cálculo de las raíces:
λ² -2·λ - 3 = 0
λ1,2 = | -(-2) ± √(-2)² - 4·1·(-3) |
2·1 |
λ1,2 = | 2 ± √4 + 12 |
2 |
λ1,2 = | 2 ± √16 |
2 |
λ1,2 = | 2 ± 4 |
2 |
λ1 = (2 + 4)/2 ⇒ λ1 = 6/2 λ1 = 3
λ2 = (2 - 4)/2 ⇒ λ1 = -2/2 λ1 = -1
La integral homogénea es:
y* = c1·e3·x + c2·e-1·x
Cálculo de la integral particular:
y = a·x5·e-x
Como:
s = 1
y = a·x·e-x
Sus derivadas son:
y' = a·e-x - a·x·e-x
y" = -a·e-x - (a·e-x - a·x·e-x)
y" = -a·e-x - a·e-x + a·x·e-x
y" = -2·a·e-x + a·x·e-x
Debe verificar:
(-2·a·e-x + a·x·e-x) - 2·(a·e-x - a·x·e-x) - 3·(a·x·e-x) = e-x/2
-2·a·e-x + a·x·e-x - 2·a·e-x + 2·a·x·e-x - 3·a·x·e-x = e-x/2
-2·a·e-x - 2·a·e-x + a·x·e-x + 2·a·x·e-x - 3·a·x·e-x = e-x/2
-4·a·e-x = e-x/2
-4·a = ½
a = -⅛
La integral particular es:
y = -x·e-x/8
Luego la integral general es:
y = y* + y
y* = C1·e3·x + C2·e-1·x - x·e-x/8
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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