Problema n° 1 de ecuaciones diferenciales - TP01

Enunciado del ejercicio n° 1

y" - 2·y' - 3·y = e-x/2

Cálculo de las raíces:

λ² -2·λ - 3 = 0

λ1,2 =-(-2) ± (-2)² - 4·1·(-3)
2·1
λ1,2 =2 ± 4 + 12
2
λ1,2 =2 ± 16
2
λ1,2 =2 ± 4
2

λ1 = (2 + 4)/2 ⇒ λ1 = 6/2 λ1 = 3

λ2 = (2 - 4)/2 ⇒ λ1 = -2/2 λ1 = -1

La integral homogénea es:

y* = c1·e3·x + c2·e-1·x

Cálculo de la integral particular:

y = a·x5·e-x

Como:

s = 1

y = a·x·e-x

Sus derivadas son:

y' = a·e-x - a·x·e-x

y" = -a·e-x - (a·e-x - a·x·e-x)

y" = -a·e-x - a·e-x + a·x·e-x

y" = -2·a·e-x + a·x·e-x

Debe verificar:

(-2·a·e-x + a·x·e-x) - 2·(a·e-x - a·x·e-x) - 3·(a·x·e-x) = e-x/2

-2·a·e-x + a·x·e-x - 2·a·e-x + 2·a·x·e-x - 3·a·x·e-x = e-x/2

-2·a·e-x - 2·a·e-x + a·x·e-x + 2·a·x·e-x - 3·a·x·e-x = e-x/2

-4·a·e-x = e-x/2

-4·a = ½

a = -⅛

La integral particular es:

y = -x·e-x/8

Luego la integral general es:

y = y* + y

y* = C1·e3·x + C2·e-1·x - x·e-x/8

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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