Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales
Problema n° 10 de ecuaciones diferenciales - TP01
Enunciado del ejercicio n° 10
y" + 4·y' + 4·y = x·ex + sen x
Cálculo de las raíces:
λ² + 4·λ + 4 = 0
(λ + 2)² = 0
λ1 = λ2 = -2
La integral homogénea es:
y* = c1·e-2·x + c2·e-2·x
Cálculo de la integral particular:
y1 = a·x·ex + b·ex
y2 = a·cos x + b·sen x
Sus derivadas son:
y'1 = a·ex + a·x·ex + b·ex
y"1 = a·ex + a·ex + a·x·ex + b·ex
y"1 = 2·a·ex + a·x·ex + b·ex
y'2 = -a·sen x + b·cos x
y"2 = -a·cos x - b·sen x
La primer integral debe verificar:
y"1 + 4·y'1 + 4·y1 = x·ex
2·a·ex + a·x·ex + b·ex + 4·(a·ex + a·x·ex + b·ex) + 4·(a·x·ex + b·ex) = x·ex
2·a·ex + a·x·ex + b·ex + 4·a·ex + 4·a·x·ex + 4·b·ex + 4·a·x·ex + 4·b·ex = x·ex
2·a·ex + 4·a·ex + a·x·ex + 4·a·x·ex + 4·a·x·ex + b·ex + 4·b·ex + 4·b·ex = x·ex
6·a·ex + 9·a·x·ex + 9·b·ex = x·ex
6·a + 9·a·x + 9·b = x
9·a = 1
a = ⅑
6·a + 9·b = 0
6·(⅑) + 9·b = 0
⅔ + 9·b = 0
9·b = -⅔
b = -2/27
Una integral particular es:
y1 = x·ex/9 - 2·ex/27
La segunda integral debe verificar:
y"2 + 4·y'2 + 4·y2 = sen x
-a·cos x - b·sen x + 4·(-a·cos x + b·sen x) + 4·(a·cos x + b·sen x) = sen x
-a·cos x - b·sen x - 4·a·cos x + b·sen x + 4·a·cos x + b·sen x = sen x
(4·b + 3·a)·cos x + (-4·a + 3·b)·sen x = sen x
4·b + 3·a = 0
-4·b = 3·a
-4·b/3 = a
a = -4·(3/25)÷3
a = -(12/25)÷3
a = -4/25
-4·a + 3·b = 1
-4·(-4·b/3) + 3·b = 1
16·b/3 + 3·b = 1
25·b/3 = 1
b = 3/25
La segunda integral es:
y2 = -4·(cos x)/25 + 3·(sen x)/25
Luego la integral general es:
y = C1·e-2·x + C2·x·e-2·x + x·ex/9 - 2·ex/27 - 4·(cos x)/25 + 3·(sen x)/25
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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