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Ejemplo de integración de ecuaciones diferenciales

Problema n° 10 de ecuaciones diferenciales

Enunciado del ejercicio n° 10

y" + 4·y' + 4·y = x·ex + sen x

Cálculo de las raíces:

λ² + 4·λ + 4 = 0

(λ + 2)² = 0

λ1 = λ2 = -2

La integral homogénea es:

y* = c1·e-2·x + c2·e-2·x

Cálculo de la integral particular:

y1 = a·x·ex + b·ex

y2 = a·cos x + b·sen x

Sus derivadas son:

y'1 = a·ex + a·x·ex + b·ex

y"1 = a·ex + a·ex + a·x·ex + b·ex

y"1 = 2·a·ex + a·x·ex + b·ex

y'2 = -a·sen x + b·cos x

y"2 = -a·cos x - b·sen x

La primer integral debe verificar:

y"1 + 4·y'1 + 4·y1 = x·ex

2·a·ex + a·x·ex + b·ex + 4·(a·ex + a·x·ex + b·ex) + 4·(a·x·ex + b·ex) = x·ex

2·a·ex + a·x·ex + b·ex + 4·a·ex + 4·a·x·ex + 4·b·ex + 4·a·x·ex + 4·b·ex = x·ex

2·a·ex + 4·a·ex + a·x·ex + 4·a·x·ex + 4·a·x·ex + b·ex + 4·b·ex + 4·b·ex = x·ex

6·a·ex + 9·a·x·ex + 9·b·ex = x·ex

6·a + 9·a·x + 9·b = x

9·a = 1

a = ⅑

6·a + 9·b = 0

6·(⅑) + 9·b = 0

⅔ + 9·b = 0

9·b = -⅔

b = -2/27

Una integral particular es:

y1 = x·ex/9 - 2·ex/27

La segunda integral debe verificar:

y"2 + 4·y'2 + 4·y2 = sen x

-a·cos x - b·sen x + 4·(-a·cos x + b·sen x) + 4·(a·cos x + b·sen x) = sen x

-a·cos x - b·sen x - 4·a·cos x + b·sen x + 4·a·cos x + b·sen x = sen x

(4·b + 3·a)·cos x + (-4·a + 3·b)·sen x = sen x

4·b + 3·a = 0

-4·b = 3·a

-4·b/3 = a

a = -4·(3/25)÷3

a = -(12/25)÷3

a = -4/25

-4·a + 3·b = 1

-4·(-4·b/3) + 3·b = 1

16·b/3 + 3·b = 1

25·b/3 = 1

b = 3/25

La segunda integral es:

y2 = -4·(cos x)/25 + 3·(sen x)/25

Luego la integral general es:

y = C1·e-2·x + C2·x·e-2·x + x·ex/9 - 2·ex/27 - 4·(cos x)/25 + 3·(sen x)/25

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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