Problema nº 1-o y 1-p, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17

Enunciado del ejercicio nº 1-o y 1-p

Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:

o) Resolución de ecuaciones cuadráticas

p) Resolución de ecuaciones cuadráticas

Solución

o)

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Igualamos a cero:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Sumamos las fracciones. Antes de determinar el denominador común veamos que el denominador del tercer término:

2·x² + 3·x + 1 = (x + ½)·(x + 1)

Si multiplicamos y dividimos por "2" al primer factor nos queda:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Reemplazamos:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Por lo tanto, el denominador común será "(2·x + 1)·(x + 1)":

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(2·x + 1)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:

3·x·(x + 1) - (x + 5)·(2·x + 1) - 2·(x - 19) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

3·x² + 3·x - (2·x² + 10·x + x + 5) - 2·x + 38 = 0

3·x² + 3·x - 2·x² - 10·x - x - 5 - 2·x + 38 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

3·x² - 2·x² + 3·x - 10·x - x - 2·x - 5 + 38 = 0

x² - 10·x + 33 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Ecuación de Báscara o Bhaskara

Siendo:

a = 1

b = -10

c = 33

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Cálculo de raíces

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

x² - 10·x + 33 = 0

Las raíces no pertenecen a los reales.

p)

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Igualamos a cero:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Sumamos las fracciones. Antes de determinar el denominador extraemos común "2" en el primer término y "4" en el segundo término:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Y el denominador del tercer término es una diferencia de cuadrados:

x² - 1 = (x - 1)·(x + 1)

Reemplazamos:

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Por lo tanto, el denominador común será "28·(x - 1)·(x + 1)":

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Multiplicamos ambos miembros por el denominador "28·(x - 1)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:

14·(5·x - 2)·(x - 1) + 7·(3·x + 2)·(x + 1) - 140·x - 60·(x - 1)·(x + 1) = 0

Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:

14·(5·x² - 2·x - 5·x + 2) + 7·(3·x² + 2·x + 3·x + 2) - 140·x - 60·(x² - 1) = 0

14·(5·x² - 7·x + 2) + 7·(3·x² + 5·x + 2) - 140·x - 60·x² + 60 = 0

70·x² - 98·x + 28 + 21·x² + 35·x + 14 - 140·x - 60·x² + 60 = 0

Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":

70·x² + 21·x² - 60·x² - 98·x + 35·x - 140·x + 28 + 14 + 60 = 0

31·x² - 203·x + 102 = 0

Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Ecuación de Báscara o Bhaskara

Siendo:

a = 31

b = -203

c = 102

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Cálculo de raíces

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

Cálculo de raíces

x₁ = 6

Cálculo de raíces

Expresamos el resultado.

La ecuación expresada en forma implícita es:

31·x² - 203·x + 102 = 0

Las raíces son:

x₁ = 6

Cálculo de raíces

Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado

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