Problema nº 1-o y 1-p, hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado - TP17
Enunciado del ejercicio nº 1-o y 1-p
Resolver las siguientes ecuaciones fraccionarias de segundo grado:
o) 
p) 
Solución
o)
Igualamos a cero:
| 3·x | - | x + 5 | - | x - 19 | = 0 |
| 2·x + 1 | x + 1 | 2·x² + 3·x + 1 |
Sumamos las fracciones:
Antes de determinar el denominador común veamos que el denominador del tercer término:
2·x² + 3·x + 1 = (x + ½)·(x + 1)
Si multiplicamos y dividimos por "2" al primer factor nos queda:
| (x + ½) = | 2·(x + ½) | = | 2·x + 1 |
| 2 | 2 |
Reemplazamos:
| 3·x | - | x + 5 | - | 2·(x - 19) | = 0 |
| 2·x + 1 | x + 1 | (2·x + 1)·(x + 1) |
Por lo tanto, el denominador común será "(2·x + 1)·(x + 1)":
| 3·x·(x + 1) - (x + 5)·(2·x + 1) - 2·(x - 19) | = 0 |
| (2·x + 1)·(x + 1) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "(2·x + 1)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:
3·x·(x + 1) - (x + 5)·(2·x + 1) - 2·(x - 19) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
3·x² + 3·x - (2·x² + 10·x + x + 5) - 2·x + 38 = 0
3·x² + 3·x - 2·x² - 10·x - x - 5 - 2·x + 38 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
3·x² - 2·x² + 3·x - 10·x - x - 2·x - 5 + 38 = 0
x² - 10·x + 33 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = 1
b = -10
c = 33
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
x² - 10·x + 33 = 0
Las raíces no pertenecen a los reales.
p)
Igualamos a cero:
| 5·x - 2 | + | 3·x + 2 | - | 5·x | - | 15 | = 0 |
| 2·x + 2 | 4·x - 4 | x² - 1 | 7 |
Sumamos las fracciones:
Antes de determinar el denominador extraemos común "2" en el primer término y "4" en el segundo término:
| 5·x - 2 | + | 3·x + 2 | - | 5·x | - | 15 | = 0 |
| 2·(x + 1) | 4·(x - 1) | x² - 1 | 7 |
Y el denominador del tercer término es una diferencia de cuadrados:
x² - 1 = (x - 1)·(x + 1)
Reemplazamos:
| 5·x - 2 | + | 3·x + 2 | - | 5·x | - | 15 | = 0 |
| 2·(x + 1) | 4·(x - 1) | (x - 1)·(x + 1) | 7 |
Por lo tanto, el denominador común será "28·(x - 1)·(x + 1)":
| (5·x - 2)·14·(x - 1) + (3·x + 2)·7·(x + 1) - 5·x·28 - 15·4·(x - 1)·(x + 1) | = 0 |
| 28·(x - 1)·(x + 1) |
Multiplicamos ambos miembros por el denominador "28·(x - 1)·(x + 1)" y, luego, cancelamos:
14·(5·x - 2)·(x - 1) + 7·(3·x + 2)·(x + 1) - 140·x - 60·(x - 1)·(x + 1) = 0
Aplicamos la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma y a la resta:
14·(5·x² - 2·x - 5·x + 2) + 7·(3·x² + 2·x + 3·x + 2) - 140·x - 60·(x² - 1) = 0
14·(5·x² - 7·x + 2) + 7·(3·x² + 5·x + 2) - 140·x - 60·x² + 60 = 0
70·x² - 98·x + 28 + 21·x² + 35·x + 14 - 140·x - 60·x² + 60 = 0
Agrupamos y sumamos los términos según las potencias de "x":
70·x² + 21·x² - 60·x² - 98·x + 35·x - 140·x + 28 + 14 + 60 = 0
31·x² - 203·x + 102 = 0
Tenemos la ecuación planteada en forma implícita, completa y ordenada.
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
Siendo:
a = 31
b = -203
c = 102
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
x₁ = 6
Expresamos el resultado.
La ecuación expresada en forma implícita es:
31·x² - 203·x + 102 = 0
Las raíces son:
x₁ = 6
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar las raíces en ecuaciones fraccionarias de segundo grado