Problema n° 3-a, hallar el coeficiente para que las raíces sean iguales - TP17
Enunciado del ejercicio n° 3-a
Determinar "k" de modo que cada ecuación tenga sus raíces iguales:
x² - 5·x + k = 0
Solución
x² - 5·x + k = 0
Planteamos la ecuación dada igualada a la expresión del producto de binomios:
(x - x₁)·(x - x₂) = x² - 5·x + k (1)
Si x₁ = x₂:
(x - x1,2)·(x - x1,2) = x² - 5·x + k
(x - x1,2)² = x² - 5·x + k
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
x² - 2·x·x1,2 + x1,2² = x² - 5·x + k
Cancelamos los monomios iguales:
-2·x·x1,2 + x1,2² = -5·x + k
Igualamos los términos de igual grado en x:
-2·x·x1,2 = -5·x (2)
x1,2² = k (3)
De (2) despejamos x1,2:
-2·x·x1,2 = -5·x
2·x1,2 = 5
x1,2 = 5/2
Reemplazamos en (3):
k = (5/2)²
k = 25/4
Verificamos con el planteo (1):
(x - 5/2)·(x - 5/2) = x² - 5·x + k
x² - 2·x·5/2 + (5/2)² = x² - 5·x + k
x² - 5·x + 25/4 = x² - 5·x + k ∎
El valor de "k" para que las raíces sean iguales es:
k = 25/4
Las raíces son x₁ = x₂ = 5/2.
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar el coeficiente para que las raíces de la ecuación sean iguales