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Ejemplo, cómo calcular la probabilidad de que ocurra un suceso condicionado

Problema n° 10 de probabilidades y estadísticas

Enunciado del ejercicio n° 10

Una lavadora de botellas X, perteneciente a una compaña lechera, procesa un 20 % de todas las botellas usadas diariamente y rompe un 4 % de las que lava, en tanto que otra lavadora Z procesa las restantes y rompe un 2 %.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una botella seleccionada al azar esté rota?

b) Una botella escogida aleatoriamente se encuentra rota. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido lavada en X?

Desarrollo

Datos:

P(R|X) = 0,04

P(X) = 0,2

P(R|Z) = 0,02

P(Z) = 0,8

Fórmulas:

P(A|B) = P(A∩B)/P(A) (probabilidad condicional de A dado que B ha ocurrido)

Solución

P(R∩X) = P(X)·P(R|X)

P(R∩X) = 0,2·0,04

P(R∩X) = 0,008

P(R∩Z) = P(Z)·P(R|Z)

P(R∩Z) = 0,8·0,02

P(R∩Z) = 0,016

a)

P(R) = P(R∩X) + P(R∩Z)

P(R) = 0,008 + 0,016

Resultado, la probabilidad de que una botella seleccionada al azar esté rota es:

P(R) = 0,024

b)

P(X|R) = P(R∩X)/P(R)

P(X|R) = 0,008/0,024

Resultado, la probabilidad de que una botella escogida aleatoriamente se encuentra rota y haya sido lavada en X es:

P(X|R) = ⅓

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