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Problema n° 3 de probabilidades y estadísticas TP04

Probabilidades y estadísticas: Solución del ejercicio n° 3 de regresión lineal. Problema resuelto. Ejemplo, cómo analizar la regresión lineal, el gráfico de dispersión y cómo calcular la varianza

Problema n° 3 de probabilidades y estadísticas

Problema n° 3

Se desea construir una tabla que permita a los productores de una localidad estimar el volumen de madera de una plantación a través de observaciones no destructivas, como contar el número de árboles y medir el diámetro del tronco. Con ese fin se estudió la relación entre el diámetro a la altura del pecho (D.A.P.) y el volumen de madera por árbol (VOL), en árboles de 14 a 16 años de edad de la especie Pinus elliotti, en la localidad de Esquina (Corrientes). Se obtuvieron las siguientes observaciones y se realizó un gráfico de dispersión.

ARBOL1234567891011121314
D.A.P. (cm)
VOL (dm³)
24,9
52,24
21,4
33,21
29,4
70,14
18,5
25,29
15,2
14,60
13,4
11,75
16,6
19,39
27
59,24
11,5
6,83
25,3
50,55
12,2
7,86
21,6
31,07
23,2
39,31
15,4
13,24

ARBOL1516171819202122232425
D.A.P. (cm)
VOL (dm³)
27,2
58,30
17,3
18,67
11,1
7,11
29,4
71,56
18,6
23,70
20,4
30,35
23
43,95
11,5
8,69
15,7
15,09
17,4
21,55
12,2
6,33

El análisis de regresión produjo los siguientes resultados:

R² = 0,9676CoeficientesError standardt StudentProbabilidad
Intercepción-37,0442,6535-13,96021,0204·10-12
Pendiente3,47540,132626,20901,24153·10-18

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple
Coeficiente de determinación R²
R² ajustado
Error típico
Observaciones
0,983667767
0,967602277
0,96619368
3,792909771
25

Análisis de varianza

Grados de libertadSuma de cuadradosPromedio de los cuadradosFValor crítico de F
Regresión19882,23669882,2366686,9264271,2412·10-18
Residuos23330,881784114,3861645
Total2410.213,11838

CoeficientesError típicoEstadístico tProbabilidadInferior 95 %Superior 95,0 %
Intercepción-37,047884132,653676876-13,96096281,0192·10-12-42,5374255-31,5583427
D.A.P. (cm) (x)3,475630170,13261066326,20928131,2412·10-183,201304493,74995585

Análisis de los residuales

ObservaciónPronóstico VOL (dm³) (y)Residuos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
49,49530709
37,3306015
65,13564285
27,25127401
15,78169445
9,525560141
20,64757668
56,79413045
2,921862819
50,88555916
5,354803937
38,02572753
43,5867358
16,47682048
57,48925648
23,0805178
1,531610751
65,13564285
27,59883702
33,85497133
42,89160977
2,921862819
17,51950953
23,42808082
5,354803937
2,74469291
-4,120601497
5,004357147
-1,961274005
-1,181694446
2,224439859
-1,257576683
2,445869554
3,908137181
-0,335559158
2,505196063
-6,955727531
-4,276735802
-3,23682048
0,81074352
-4,410517802
5,578389249
6,424357147
-3,898837022
-3,504971327
1,058390232
5,768137181
-2,429509531
-1,878080819
0,975196063

Gráfica del análisis de regresión lineal

Presente el modelo de regresión lineal estimado para predecir el volumen por árbol en función del diámetro del tronco. Identifique los estimadores de los parámetros y las variables explicativa y de respuesta.

Yi = β0 + β1·Xi + εi

Con Yi = volumen del arbol (variable respuesta)

Xi = diámetro del tronco (variable explicativa)

b0 = estimador de ordenada al origen = -37,044

b1 = estimador de pendiente = 3,4754

Proponga hipótesis de interés para poner a prueba y comente los resultados.

H0: β1 = 0; H1: β1 ≠ 0.

Dado que el valor p = 1,2412·10-18 la pendiente es significativa.

¿Qué interpretación biológica puede darse a una pendiente significativa de 3,475 en este contexto?

Que ante un aumento de 1 cm en el diámetro del árbol, se obtendrá un aumento de 3,475 dm³ en el volumen del árbol.

¿Qué indica un coeficiente de determinación (R²) igual a 0,9676?

Que el 96,76 % de las variaciones en el volumen están explicadas por las variaciones en el diámetro del árbol.

Calcule el valor estimado y el residual de la observación correspondiente al árbol 16.

Y(16) esperado = -37,044 + 3,4754·17,3 = 23,08042

Y(16) observado = 18,67

e(16) = 18,67 - 23,08042 = -4,41042

¿Se puede afirmar, con una probabilidad de error del 5 %, que el volumen de madera aumenta significativamente cuando el D.A.P. aumenta?

H0: β1 = 0 vs. H1: β1 ≠ 0.

Si H0 es cierta, entonces se estima que no existe asociación alguna entre X e Y.

tc = (b1 - β1)/s(b1) = (3,4754 - 0)/0,1326 = 26,20

Tiene distribución tn - 2 para el modelo que estamos utilizando, luego t tabla = tn - 2; α/2 = t23; 0,025 = 2,068654794

Como t calculado > t tabla rechazo Ho entonces hay regresión.

Calcule un IC90 para la pendiente del modelo.

P{b1 - t(α/2; n - 2)·s(b1) ≤ β1 ≤ b1 + t(α/2; n - 2)·s(b1)} = 1 - α

Con b = 3,4754

S(b1) = 0,1326

tαn - 2; α/2 = t23; 0,025 = 1,713870006

3,248352733,70290761

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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