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Guía de ejercicios resueltos de regresión. TP04

Probabilidades y estadísticas: Solución del ejercicio n° 3 de regresión lineal. Problemas resueltos.

Problema n° 3 de probabilidades y estadísticas.

Problema n° 3) Se desea construir una tabla que permita a los productores de una localidad estimar el volumen de madera de una plantación a través de observaciones no destructivas, como contar el número de árboles y medir el diámetro del tronco. Con ese fin se estudió la relación entre el diámetro a la altura del pecho (D.A.P.) y el volumen de madera por árbol (VOL), en árboles de 14 a 16 años de edad de la especie Pinus elliotti, en la localidad de Esquina (Corrientes). Se obtuvieron las siguientes observaciones y se realizó un gráfico de dispersión.

 

ARBOL

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

D.A.P. (cm)
VOL (dm³)

24.9
52.24

21.4
33.21

29.4
70.14

18.5
25.29

15.2
14.60

13.4
11.75

16.6
19.39

27
59.24

11.5
6.83

25.3
50.55

12.2
7.86

21.6
31.07

23.2
39.31

15.4
13.24

 

ARBOL

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

D.A.P. (cm)
VOL (dm³)

27.2
58.30

17.3
18.67

11.1
7.11

29.4
71.56

18.6
23.70

20.4
30.35

23
43.95

11.5
8.69

15.7
15.09

17.4
21.55

12.2
6.33

 

El análisis de regresión produjo los siguientes resultados:

R² = 0.9676

Coeficientes

Error standard

t Student

Probabilidad

Intercepción

-37.044

2.6535

-13.9602

1.0204· 10-12

Pendiente

3.4754

0.1326

26.2090

1.24153 10-18

Estadísticas de la regresión

Coeficiente de correlación múltiple
Coeficiente de determinación R²
R² ajustado
Error típico
Observaciones

0.983667767
0.967602277
0.96619368
3.792909771
25

ANÁLISIS DE VARIANZA

 

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los cuadrados

F

Valor crítico de F

Regresión

1

9882.2366

9882.2366

686.926427

1.2412.10-18

Residuos

23

330.8817841

14.3861645

   

Total

24

10213.11838

     

 

 

Coeficientes

Error típico

Estadístico t

Probabilidad

Inferior 95%

Superior 95.0%

Intercepción

-37.04788413

2.653676876

-13.9609628

1.0192.10-12

-42.5374255

-31.5583427

D.A.P. (cm) (x)

3.47563017

0.132610663

26.2092813

1.2412.10-18

3.20130449

3.74995585

 

Análisis de los residuales

Observación

Pronóstico VOL (dm³) (y)

Residuos

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

49.49530709
37.3306015
65.13564285
27.25127401
15.78169445
9.525560141
20.64757668
56.79413045
2.921862819
50.88555916
5.354803937
38.02572753
43.5867358
16.47682048
57.48925648
23.0805178
1.531610751
65.13564285
27.59883702
33.85497133
42.89160977
2.921862819
17.51950953
23.42808082
5.354803937

2.74469291
-4.120601497
5.004357147
-1.961274005
-1.181694446
2.224439859
-1.257576683
2.445869554
3.908137181
-0.335559158
2.505196063
-6.955727531
-4.276735802
-3.23682048
0.81074352
-4.410517802
5.578389249
6.424357147
-3.898837022
-3.504971327
1.058390232
5.768137181
-2.429509531
-1.878080819
0.975196063

Probabilidad Regresión

Presente el modelo de regresión lineal estimado para predecir el volumen por árbol en función del diámetro del tronco. Identifique los estimadores de los parámetros y las variables explicativa y de respuesta.

Yi = β0 + β1·Xi + εi

Con Yi = volumen del arbol (variable respuesta)

Xi = diámetro del tronco (variable explicativa)

b0 = estimador de ordenada al origen = -37.044

b1 = estimador de pendiente = 3.4754

Proponga hipótesis de interés para poner a prueba y comente los resultados.

H0: β1 = 0; H1: β1 ≠ 0.

Dado que el valor p = 1.2412.10-18 la pendiente es significativa.

¿Qué interpretación biológica puede darse a una pendiente significativa de 3.475 en este contexto?

Que ante un aumento de 1 cm en el diámetro del árbol, se obtendrá un aumento de 3.475 dm³ en el volumen del árbol.

¿Qué indica un coeficiente de determinación (R²) igual a 0.9676?

Que el 96.76% de las variaciones en el volumen están explicadas por las variaciones en el diámetro del árbol.

Calcule el valor estimado y el residual de la observación correspondiente al árbol 16.

Y(16)esperado = -37.044+3.4754*17.3 = 23.08042

Y(16)observado = 18.67

e(16) = 18.67 – 23.08042 = -4.41042

¿Se puede afirmar, con una probabilidad de error del 5%, que el volumen de madera aumenta significativamente cuando el D.A.P. aumenta?

H0: β1 = 0 vs. H1: β1 ≠ 0.

Si H0 es cierta, entonces se estima que no existe asociación alguna entre X e Y.

tc =  (b1 - β1)/s(b1) = (3.4754-0)/0.1326 = 26.20

tiene distribución tn-2 para el modelo que estamos utilizando, luego t tabla = tn-2;α/2 = t23;0.025 = 2.068654794

Como t calculado > t tabla rechazo Ho entonces hay regresión.

Calcule un IC90 para la pendiente del modelo.

P{b1 - t(α/2;n - 2).s(b1) ≤ β1 ≤ b1 + t(α/2;n - 2).s(b1)} = 1 - α

con b = 3.4754

S(b1) = 0.1326

tαn-2; α/2 = t23;0.025 = 1.713870006

3.24835273

3.70290761

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