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Ejemplo, cómo calcular la probabilidad de que ocurra un suceso

Problema n° 13 de estadística descriptiva

Enunciado del ejercicio n° 13

Se ha estudiado la variable circunferencia basal (cm) en árboles de 5 años de edad de una especie forestal y se halló que la función de densidad f(c) = -c² + 4·c - (8/3) describía muy ajustadamente las observaciones en muchas poblaciones de la especie (1 ≤ c ≤ 2).

a. Comprobar que f(c) es una función de densidad.

b. Si se elige un árbol al azar de una población:

A) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal menor a 1,2 cm?

B) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,7 cm?

C) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,2 cm y menor a 1,7 cm?

D) ¿Por qué las probabilidades de los puntos (A), (B) y (C) suman 1?

Solución

a)

Para que f(c) sea una función de densidad se debe cumplir que:

A.

f(c) ≥ 0 en [1; 2] y,

B.

2f(c)·dc = 1
 
1
2f(c)·dc = 2(-c² + 4·c - 8/3)·dc =
  
11
= -2c²·dc + 4·2c·dc - (8/3)·2dc =
   
111
= -⅓·c³2+ 4·½·c²2- (8/3)·c2=
   
111

= -⅓·(8 - 1) + 2·(4 - 1) - (8/3)·(2 - 1) = 1

b)

Primero debemos determinar:

F(χ) = cf(x)·dx
 
1
F(χ) = [-⅓·x + 4·½·x² - (8/3)·x]c
 
1

F(χ) = -⅓·c + 2·c² - (8/3)·c - (-⅓ + 2 - 8/3)

F(χ) = -⅓·c + 2·c² - (8/3)·c - (-1)

F(χ) = -⅓·c + 2·c² - (8/3)·c + 1; [1 ≤ χ ≤ 2];

Luego:

A.

F(1,2) = 0,104

B.

1 - F(1,7) = 1 - 0,609

1 - F(1,7) = 0,391

C.

F(1,7) - F(1,2) = 0,609 - 0,104

F(1,7) - F(1,2) = 0,505

D.

Porque abarcan todos los eventos posibles del espacio muestral.

Autor: Olga Susana Filippini

Argentina.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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