Problema n° 13 de probabilidades y estadísticas.

Problema n° 13) Se ha estudiado la variable circunferencia basal [cm] en árboles de 5 años de edad de una especie forestal y se halló que la función de densidad f(c) = -c² + 4·c - (8/3) describía muy ajustadamente las observaciones en muchas poblaciones de la especie (1 ≤ c ≤ 2).

(a) Comprobar que f(c) es una función de densidad.

(b) Si se elige un árbol al azar de una población:

(i) ¿cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal menor a 1,2 cm?

(ii) ¿cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,7 cm?

(iii) ¿cuál es la probabilidad de que tenga una circunferencia basal mayor a 1,2 cm y menor a 1,7 cm?

(iv) ¿Por qué las probabilidades de los puntos (i), (ii) y (iii) suman 1?

Solución

(a) Para que f(c) sea una función de densidad se debe cumplir que:

(i) f(c) ≥ 0 en [1;2] y, (ii)  ƒ(c)·dc = 1;

 ƒ(c)·dc =  (-c² + 4·c - 8/3)·dc = - c²·dc + 4· c·dc - (8/3)· ·dc = |-c³/3 + 4·c²/2 - 8·c/3|²₁

= -(8 - 1)/3 + 2·(4 - 1) - 8·(2 - 1)/3 = 1

(b)

Primero debemos determinar F(χ) = ; [1 ≤ χ ≤ 2];

Luego:

(i) F(1,2) = 0,104;

(ii) 1 - F(1,7) = 1 - 0,609 = 0,391;

(iii) F(1,7) - F(1,2) = 0,609 - 0,104 = 0,505;

(iv) porque abarcan todos los eventos posibles del espacio muestral.

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