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Ejemplo, cómo factorizar paso a paso

Problema n° 4 de casos de factoreo

Enunciado del ejercicio n° 4

Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):

  x² + x·y + y² 
x³ - y³:2=
x² - y²x² + 2·x·y + y²

Solución

Expresamos la división del segundo término como una sola fracción:

=x³ - y³:x² + x·y + y²=
x² - y²2·(x² + 2·x·y + y²)

Una regla simple para recordar la propiedad anterior es "lo que está arriba baja y lo que está abajo sube".

Luego expresamos la división principal como un producto, comúnmente llamado "invertir la fracción":

=x³ - y³·2·(x² + 2·x·y + y²)=
x² - y²x² + x·y + y²

Ahora podemos visualizar fácilmente las operaciones a realizar.

El numerador del primer término es una diferencia de potencias de igual grado con exponente impar:

x³ - y³ = (x - y)·(x² + x·y + y²)

El denominador del primer término es una diferencia de cuadrados:

x² - y² = (x - y)·(x + y)

Reemplazamos:

=(x - y)·(x² + x·y + y²)·2·(x² + 2·x·y + y²)=
(x - y)·(x + y)x² + x·y + y²

A medida que avanzamos realizamos las simplificaciones posibles "sin piedad", en este caso simplificamos "x - y" y "x² + x·y + y²":

=(x - y)·(x² + x·y + y²)·2·(x² + 2·x·y + y²)=
(x - y)·(x + y)x² + x·y + y²

El numerador del primer término es un trinomio cuadrado perfecto, lo desarrollamos:

x² + 2·x·y + y² = (x + y)²

=1·1·2·(x + y)²=
1·(x + y)1

Simplificamos el factor "x + y":

=1·2·(x + y)²=
x + y1
=1·2·(x + y)
11

Expresamos el resultado:

  x² + x·y + y² 
x³ - y³:2= 2·(x + y)
x² - y²x² + 2·x·y + y²

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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