Problema n° 4 de casos de factoreo o factorización - TP07
Enunciado del ejercicio n° 4
Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):
| x² + x·y + y² | |||
| x³ - y³ | : | 2 | = |
| x² - y² | x² + 2·x·y + y² |
Solución
Expresamos la división del segundo término como una sola fracción:
| = | x³ - y³ | : | x² + x·y + y² | = |
| x² - y² | 2·(x² + 2·x·y + y²) |
Una regla simple para recordar la propiedad anterior es "lo que está arriba baja y lo que está abajo sube".
Luego expresamos la división principal como un producto, comúnmente llamado "invertir la fracción":
| = | x³ - y³ | · | 2·(x² + 2·x·y + y²) | = |
| x² - y² | x² + x·y + y² |
Ahora podemos visualizar fácilmente las operaciones a realizar.
El numerador del primer término es una diferencia de potencias de igual grado con exponente impar:
x³ - y³ = (x - y)·(x² + x·y + y²)
El denominador del primer término es una diferencia de cuadrados:
x² - y² = (x - y)·(x + y)
Reemplazamos:
| = | (x - y)·(x² + x·y + y²) | · | 2·(x² + 2·x·y + y²) | = |
| (x - y)·(x + y) | x² + x·y + y² |
A medida que avanzamos realizamos las simplificaciones posibles "sin piedad", en este caso simplificamos "x - y" y "x² + x·y + y²":
| = | (x - y)·(x² + x·y + y²) | · | 2·(x² + 2·x·y + y²) | = |
| (x - y)·(x + y) | x² + x·y + y² |
El numerador del primer término es un trinomio cuadrado perfecto, lo desarrollamos:
x² + 2·x·y + y² = (x + y)²
| = | 1·1 | · | 2·(x + y)² | = |
| 1·(x + y) | 1 |
Simplificamos el factor "x + y":
| = | 1 | · | 2·(x + y)² | = |
| x + y | 1 |
| = | 1 | · | 2·(x + y) |
| 1 | 1 |
Expresamos el resultado:
| x² + x·y + y² | |||
| x³ - y³ | : | 2 | = 2·(x + y) |
| x² - y² | x² + 2·x·y + y² |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo factorizar paso a paso