Problema n° 5 de casos de factoreo o factorización - TP07
Enunciado del ejercicio n° 5
Efectuar las siguientes operaciones de factorización (paso a paso):
| a³ | + 1 | :( | - | + 1) = | ||
| 8 | a² | a | ||||
| a² | - 1 | 4 | 2 | |||
| 4 |
Solución
Sumamos las fracciones:
| = | a³ + 8 | : | = | |
| 8 | a² - 2·a + 4 | |||
| a² - 4 | 4 | |||
| 4 |
Expresamos la división del primer término como una sola fracción:
| = | a³ + 8 | · | 4 | : | a² - 2·a + 4 | = |
| 8 | a² - 4 | 4 |
Luego expresamos la división como un producto, comúnmente llamado "invertir la fracción":
| = | a³ + 8 | · | 4 | · | 4 | = |
| 8 | a² - 4 | a² - 2·a + 4 |
Ahora podemos visualizar fácilmente las operaciones a realizar. Antes de continuar simplificamos:
| = | a³ + 8 | · | 4 | · | 4 | = |
| 8 | a² - 4 | a² - 2·a + 4 |
| = | a³ + 8 | · | 1 | · | 2 | = |
| 1 | a² - 4 | a² - 2·a + 4 |
| = | a³ + 8 | · | 2 | = |
| a² - 4 | a² - 2·a + 4 |
El numerador del primer término es una suma de potencias de igual grado con exponente impar:
a³ + 8 = a³ + 2³ = (a + 2)·(a² - a·2 + 2²) = (a + 2)·(a² - 2·a + 4)
El denominador del primer término es una diferencia de cuadrados:
a² - 4 = a² - 2² = (a - 2)·(a + 2)
Reemplazamos:
| = | (a + 2)·(a² - 2·a + 4) | · | 2 | = |
| (x - 2)·(x + 2) | a² - 2·a + 4 |
Simplificamos los factores "a + 2" y "a² - 2·a + 4":
| = | (a + 2)·(a² - 2·a + 4) | · | 2 | = |
| (a - 2)·(a + 2) | a² - 2·a + 4 |
| = | 1·1 | · | 2 | = | 2 |
| (a - 2)·1 | 1 | a - 2 |
Expresamos el resultado:
| a³ | + 1 | :( | - | + 1) = | |||
| 8 | a² | a | 2 | ||||
| a² | - 1 | 4 | 2 | a - 2 | |||
| 4 |
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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