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Funciones exponencial y logarítmica

Representación gráfica de la función logaritmo

La función logarítmica de base a es aquella función que asigna a cada número su logaritmo en base a.

Puesto que los números negativos no tienen logaritmo, la función logarítmica se define en el conjunto de los números reales positivos excluido el cero, y toma valores en el conjunto de los números reales.

loga: + - {0} → ℜ

x → loga x

+ - {0}

Representa al conjunto de los números reales positivos, excluido el cero.

+ - {0} = (0, +∞)

En la representación gráfica de la función logarítmica conviene distinguir dos casos:

a) Función logarítmica de base mayor que 1:

a > 1

La representación gráfica pone de relieve los principales resultados sobre logaritmos:

El logaritmo de 1 es cero: loga 1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

loga a = 1.

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo negativo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo positivo.

La función es creciente.

b) Función logarítmica de base menor que 1:

a < 1

En la representación gráfica se observa que:

El logaritmo de 1 es cero: loga 1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

loga a = 1.

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo positivo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo negativo.

La función es decreciente.

Ejemplos de representaciones gráficas (función logarítmica)

Ejemplo n° 1

Representar gráficamente la función y = log2 x.

Solución

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

xy

¼
½
1
2
4
8
-3
-2
-1
0
1
2
3

Ejemplo n° 2

Representar gráficamente la función y = log½ x.

Solución

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

xy

¼
½
1
2
4
8
3
2
1
0
-1
-2
-3

Ejemplo n° 3

Representar en uno mismo eje de coordenadas las funciones

y = log2 x·y = ln x·y = log10 x.

Relación función logaritmo y exponencial

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con:

1° Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones.

2° Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función.

En este caso:

1° En la función logarítmica y = loga x se intercambia x por y, obteniendo: x = loga y.

2° Despejando la variable y en x = loga y, se tiene y = ax, es decir la función exponencial.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta y = x).

Representando en un mismo diagrama las funciones y = loga x e y = ax, los resultados son estas gráficas.

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así en la ecuación 2·log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

Por ejemplo,

log x + log y³ = 5
log x/y = 1

Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia.

log A = log B ⇔ A = B

Deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

Ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas

Ejemplo n° 1

Resolver la ecuación 2·log x = 1 + log (x - 0,9).

Solución

log x² = log 10 + log (x - 0,9)

log x² = log [10·(x - 0,9)]

x² = 10·(x - 0,9)

x² = 10·x - 9

x² - 10·x + 9 = 0

x1,2-(-10) ± (-10)² - 4·1·9
2·1
x1,210 ± 100 - 36
2
x1,210 ± 64
2
x1,210 ± 8
2

x1,2 = 5 ± 4

Hay dos soluciones: x1 = 9 y x2 = 1

Ejemplo n° 2

Resolver la ecuación 3·log x - log 32 = log x/2

Solución

log x³ - log 32 = log x/2

log x³/32 = log x/2

x³/32 = x/2

x³ - 16·x = 0

x no puede ser cero pues no existe log 0

x² = 16 ⇒ x = ±4

La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos

Ejemplo n° 1

Resolver la ecuación 2x = 57.

Solución

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57

x·log 2 = log 57

x = log 57/log 2

x = 1,7558/0,3010 = 5,8332

Ejemplo n° 2

Resolver la ecuación 51 - x² = 1/40

Solución

Tomando logaritmos en ambos miembros,

log 51 - x² = log 1/40

(1 - x²)·log 5 = log 1 - log 40

log 5 - x²·log 5 = 0 - log 40

x² = (-log 40 - log 5)/(-log 5)

x² = (-1,6020 - 0,6989)/(- 0,6989)

x² = 3,2921

x = 1,8144

Ejemplo n° 3

Resolver 43·x = 8x + 6.

Solución

Expresando 4 y 8 como potencias de dos (2²)3·x = (2³)x + 6.

Esta ecuación puede escribirse como (23·x)² = 23·x + 6.

Haciendo el cambio 23·x = y, la ecuación se escribe y² = y + 6.

Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.

y² - y - 6 = 0

y1,2-(-1) ± (-1)² - 4·1·(-6)
2·1
y1,21 ± 1 + 24
2
y1,21 ± 25
2
y1,21 ± 5
2

Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2

Para y1 = 3, 23·x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,

log 23·x = log 3

3·x·log 2 = log 3

x = log 3/(3·log 2)

x = 0,4771/(3·0,3010)

x = 0,5283

Para y2 = -2, 23·x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 23·x es siempre positivo.

Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas

Ejemplo n° 1

Resolver el sistema:

log x + log y³ = 5
log x/y = 1

Solución

log x·y³ = log 105 ⇒ x·y³ = 105

log x/y = log 10 ⇒ x/y = 10

x = 10·y

10·y4 = 105 ⇒ y4 = 104

y = 10 (el resultado y = -10 no tiene sentido)

Como x = 10·y ⇒ x = 10·10 = 100

Ejemplo n° 2

Solucionar el sistema:

log x + log y = 2
x - y = 20

Solución

log x·y = log 100 ⇒ x·y = 100

x - y = 20 ⇒ x = y + 20

(20 + y)·y = 100 ⇒ 20·y + y² = 100

y² + 20·y - 100 = 0

y1,2-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = 20

c = -100

y1,2-20 ± 20² - 4·1·(-100)
2·1
y1,2-20 ± 400 + 400
2
y1,2-20 ± 2·400
2
y1,2-20 ± 20·2
2
y1,2-10 ± 10·2
1

y1,2 = -10 ± 10·2

y1 = -10 - 10·2 (no es solución)

y2 = -10 + 10·2

x = 20 + y

x = 20 + (-10 + 10·2)

x = 10 + 10·2

Autor: Sin datos

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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