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Función logarítmica. AP06

Contenido: Cálculo de logaritmos. Logaritmos decimales y naturales. Cambio de base. Representación gráfica. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Funciones exponencial y logarítmica

Continuación

Ejercicio: cálculo de logaritmos

1) Sabiendo que log10 2 = 0,301030 y log10 3 = 0,477121, calcular log10 6, log10 8, log10 3/2, Ejemplo de logaritmo en base 10 de una raíz

Resolución:

Para obtener los logaritmos pedidos a partir del logaritmo de 2 y de 3, hay que expresar los números 6; 8; 3/2 y 3,6 en función de 2 y 3.

log10 6 = log10 (2·3) = log10 2 + log10 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151

log10 8 = log10 2³ = 3·log10 2 = 3·0,301030 = 0,903090

log10 3/2 = log10 3 - log10 2 = 0,477121 - 0,301030 = 0,146091

Ejemplo de logaritmo en base 10 de una raíz = (1/3)·log10 (36/10) = (1/3)·log10 (2²·3²/10) = (2·log10 2 + 2·log10 3 - log10 10)/3 =
= (2·0,301030 + 2·0,477121 - 1)/3 = 0,185434

2) Calcular log2 64, log½ 4, log7 1/7

Resolución:

log2 64 = log2 26 = 6·log2 2 = 6·1 = 6

log½ 4 = log½ ½-2 = -2

log7 1/7 = log7 1 - log7 7 = 0 - 1 = -1

3) Desarrollar el logaritmo de la expresión:

B = Ejemplo, cómo calcular un logaritmo

Resolución:

El desarrollo del logaritmo es independiente de la base que se tome, por lo tanto se prescindirá de ella.

log B = log Ejemplo, cómo calcular un logaritmo =
log (x·y³) - log Ejemplo, cómo calcular un logaritmo =
= log x + log y³ - (1/3)·log 2·z4 =
= log x + 3·log y - (log 2 + 4·log z)/3 =
= log x + 3·log y - (1/3)·log 2 - (4/3)·log z

3) Desarrollar el logaritmo de la expresión:

C = Ejemplo, cómo calcular el logaritmo de una raíz

Resolución:

log C = log Ejemplo, cómo calcular el logaritmo de una raíz = Ejemplo, cómo calcular el logaritmo de una raíz

= ½·(log 2 + ½·log 2·Raíz cuadrada de 2) = ½·log 2 + ¼·(log 2 + log Raíz cuadrada de 2) =

= ½·log 2 + ¼·log 2 + ¼·½·log 2 = (½ + ¼ + 1/8)·log 2 = (7/2)·log 2

log C = (7/2)·log 2

Obtener la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:

log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z

Resolución:

En este caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos anteriores.

log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z = log x³ + log y² - log Raíz cuadrada de Z =

log E = log (x³·y²) - log Raíz cuadrada de Z = log Función logarítmica

Por lo tanto, sí:

log E = log Función logarítmica ⇒ E = Función logarítmica

Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:

logx 8 = ½; logx 1/9 = -2; log27 x = 1/3; log10 0,01 = x; log½ x = -1

Resolución:

logx 8 = ½ ⇒ x½ = 8 ⇒ √x = 8 ⇒ x = 8² ⇒ x = 64

logx 1/9 = -2 ⇒ x-2 = 1/9 ⇒ 1/x² = 1/9 ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3

log27 x = 1/3 ⇒ 271/3 = x ⇒ x = Raíz cúbica de 27 ⇒ x = 3

log10 0,01 = x ⇒ 10x = 0,01 ⇒ 10x = 1/100 ⇒ 10x = 1/10² = 10-2 ⇒ x = -2

log½ x = -1 ⇒ ½-1 = x ⇒ 2 = x

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

log10 X = log X

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.

Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:

log 1 = 0; puesto que 10° = 1 → log 10 000 = 4; puesto que 104 = 10000.

log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10 → log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.

Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

loge X = ln X = LX

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:

ln 1 = 0; puesto que e° = 1

ln e² = 2; puesto que e² = e²

ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1

El número e tiene gran importancia en Matemática. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión

Su valor, con seis cifras decimales, es:

e = 2,718281…

Cambio de base

Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.

Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441 … según que la base considerada sea 8, 1/8, 2, ½, 10, e …

Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:

logb x = loga x/loga b

Demostración:

Sea:

loga x = A ⇒ aA = x
logb x = B ⇒ bB = x

⇒ aA = bB

Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:

loga aA = loga bBA·loga a = B·loga b

Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene:

B = A/loga b

es decir,

logb x = loga x/loga b

Ejercicio: cambios de base de logaritmos

Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8

Resolución:

Aplicando la fórmula, log16 8 = log2 8/log2 16 = ¾ = 0,75

Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9 27

Resolución:

log9 27 = log3 27/log3 9 = 3/2 = 1,5

Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.

Resolución:

log7 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207

Relación entre logaritmos decimales y neperianos

Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

ln X = log X/log e, donde log e = 0,434294

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

ln X = ln X/ln 10, donde ln 10 = 2,302585

Relación entre los logaritmos en base a y en base 1/a

Relación entre logaritmos

log1/a X = -loga X

Relación entre loga b y logb a

logb a = loga a/loga b = 1/loga b

Los logaritmos loga b y logb a son inversos.

Ejercicio: cambio de base

Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25.

Resolución:

ln 25 = log 25/log e = 1,397940/0,434294 = 3,218879

Dado el ln 17 = 2,833213, calcular log 17.

Resolución:

log 17 = ln 17/ln 10 = 2,833213/2,302585 = 1,230448

Calcular log1/6 216, sabiendo que log6 216 = 3.

Resolución:

log1/6 216 = -log6 216 = -3

Calcular log3 10, sabiendo que log 3 = 0,477121.

Resolución:

log3 10 = 1/log 3 = 1/0,477121 = 2,095904

Calcular log5 e, sabiendo que ln 5 = 1,609437.

Resolución:

log5 e = 1/ln 5 = 1/1,609437 = 0,621335

Representación gráfica de la función logaritmo

La función logarítmica de base a es aquella función que asigna a cada número su logaritmo en base a.

Puesto que los números negativos no tienen logaritmo, la función logarítmica se define en el conjunto de los números reales positivos excluido el cero, y toma valores en el conjunto de los números reales.

loga: + - {0} →

x → loga x

+ - {0}

representa al conjunto de los números reales positivos, excluido el cero.

+ - {0} = (0, +∞)

En la representación gráfica de la función logarítmica conviene distinguir dos casos:

a) Función logarítmica de base mayor que 1:

a > 1

La representación gráfica pone de relieve los principales resultados sobre logaritmos:

El logaritmo de 1 es cero: loga 1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

loga a = 1.

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo negativo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo positivo.

La función es creciente.

b) Función logarítmica de base menor que 1:

a < 1

En la representación gráfica se observa que:

El logaritmo de 1 es cero: loga 1 = 0.

El logaritmo de la base es la unidad:

loga a = 1.

Los números comprendidos entre 0 y 1 (0 < x < 1) tienen logaritmo positivo.

Los números mayores que 1 (x > 1) tienen logaritmo negativo.

La función es decreciente.

Ejercicio: representaciones gráficas (función logarítmica)

Representar gráficamente la función y = log2 x.

Resolución:

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x

y

1/8

¼

½

1

2

4

8

-3

-2

-1

0

1

2

3

Representar gráficamente la función y = log½ x.

Resolución:

Para determinar por qué puntos pasa la función se elabora una tabla de valores:

x

y

1/8

¼

½

1

2

4

8

3

2

1

0

-1

-2

-3

Representar en unos mismos ejes de coordenadas las funciones

y = log2 x·y = ln x·y = log10 x.

Relación función logaritmo y exponencial

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Para comprobar que dos funciones son inversas basta con:

1° Intercambiar entre sí las variables x e y en una de las dos funciones.

2° Despejar la variable y, y comprobar que se obtiene la otra función.

En este caso:

1° En la función logarítmica y = loga x se intercambia x por y,

obteniendo: x = loga y.

2° Despejando la variable y en x = loga y, se tiene y = ax, es decir la función exponencial.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Representando en un mismo diagrama las funciones y = loga x e y = ax, los resultados son estas gráficas.

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es aquella en la que la incógnita aparece en una expresión afectada por un logaritmo.

Así en la ecuación 2·log x = 1 + log (x - 0,9), en la que la incógnita x aparece tras el signo de logaritmo, es logarítmica.

Un sistema de ecuaciones logarítmicas es un sistema formado por ecuaciones logarítmicas.

Por ejemplo,

log x + log y³ = 5
log x/y = 1

Cómo se resuelven ecuaciones logarítmicas

Para resolver estas ecuaciones se intenta, aplicando las propiedades de los logaritmos, llegar a expresiones del tipo log A = log B.

Una vez conseguido, se aplica la equivalencia

log A = log B ⇔ A = B,

deduciendo, a partir de aquí, los valores de las incógnitas.

Ejercicio: resolución de ecuaciones logarítmicas

Resolver la ecuación 2·log x = 1 + log (x - 0,9).

Resolución:

log x² = log 10 + log (x - 0,9)

log x² = log [10·(x - 0,9)] ⇒ x² = 10·(x - 0,9)

x² = 10·x - 9 ⇒ x² - 10·x + 9 = 0

x = (10 ± √100 - 4·9)/2 = (10 ± √64)/2 = (10 ± 8)/2 = 5 ± 4

Hay dos soluciones: x = 9 y x = 1

2) Resolver la ecuación 3·log x - log 32 = log x/2

Resolución:

log x³ - log 32 = log x/2 ⇒ log x³/32 = log x/2 ⇒ x³/32 = x/2 ⇒ x³ - 16·x = 0

x no puede ser cero pues no existe log 0

x² = 16 ⇒ x = ±4

La solución x = -4 no es válida puesto que los números negativos no tienen logaritmo. Por lo tanto, x = 4.

Ejercicio: ecuaciones exponenciales que se resuelven utilizando logaritmos

Resolver la ecuación 2x = 57.

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros, log 2x = log 57

x·log 2 = log 57 ⇒ x = log 57/log 2 ⇒ x = 1,7558/0,3010 = 5,8332

2) Resolver la ecuación Función logarítmica = 1/40

Resolución:

Tomando logaritmos en ambos miembros,

log Función logarítmica = log 1/40 ⇒ (1 - x²)·log 5 = log 1 - log 40 ⇒ log 5 - x²·log 5 = 0 - log 40 ⇒

x² = (- log 40 - log 5)/(- log 5) ⇒ x² = (- 1,6020 - 0,6989)/(- 0,6989) ⇒ x² = 3,2921 ⇒ x = 1,8144

Resolver 43·x = 8x + 6.

Resolución:

Expresando 4 y 8 como potencias de dos (2²)3·x = (2³)x + 6.

Esta ecuación puede escribirse como (23·x)² = 23·x + 6.

Haciendo el cambio 23·x = y, la ecuación se escribe y² = y + 6.

Ahora basta con resolver esta ecuación de segundo grado y deshacer el cambio de variable para obtener el valor de x.

y² - y - 6 = 0

y = (1 ± √1 + 24)/2 = (1 ± √25)/2 = (1 ± 5)/2

Las dos soluciones son y1 = 3; y2 = -2

Para y1 = 3, 23·x = 3. Tomando logaritmos en ambos miembros,

log 23·x = log 3 ⇒ 3·x·log 2 = log 3 ⇒ x = log 3/(3·log 2) ⇒ x = 0,4771/(3·0,3010) ⇒ x = 0,5283

Para y2 = -2, 23·x = -2. No existe un número x que verifique esto ya que 23·x es siempre positivo.

Ejercicio: resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas

 

1) Resolver el sistema:

log x + log y³ = 5

log x/y = 1

Resolución:

log x·y³ = log 105 ⇒ x·y³ = 105

log x/y = log 10 ⇒ x/y = 10 ⇒ x = 10·y

10·y4 = 105 ⇒ y4 = 104 ⇒ y = 10 (El resultado y = -10 no tiene sentido.)

Como x = 10·y ⇒ x = 10·10 = 100

2) solucionar el sistema:

log x + log y = 2

x - y = 20

Resolución:

log x·y = log 100 ⇒ x·y = 100

x - y = 20 ⇒ x = y + 20

(20 + y)·y = 100 ⇒ 20·y + y² = 100

Ejemplo, cómo calcular un logaritmo

x = 20 + y ⇒ x = 20 + (-10 + 10·√2) ⇒ x = 10 + 10·√2

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