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Funciones exponencial y logarítmica

Ejemplos de cálculo de logaritmos

Ejemplo n° 1

Sabiendo que log10 2 = 0,301030 y log10 3 = 0,477121, calcular log10 6, log10 8, log10 3/2, log10 3,6

Solución

Para obtener los logaritmos pedidos a partir del logaritmo de 2 y de 3, hay que expresar los números 6; 8; 3/2 y 3,6 en función de 2 y 3.

log10 6 = log10 (2·3) = log10 2 + log10 3 = 0,301030 + 0,477121 ⇒ log10 6 = 0,778151

log10 8 = log10 2³ = 3·log10 2 = 3·0,301030 ⇒ log10 8 = 0,903090

log10 3/2 = log10 3 - log10 2 = 0,477121 - 0,301030 ⇒ log10 3/2 = 0,146091

log10 3,6 = ⅓·log10 (36/10) = ⅓·log10 (2²·3²/10) = (2·log10 2 + 2·log10 3 - log10 10)/3 =

= (2·0,301030 + 2·0,477121 - 1)/3 ⇒ log10 3,6 = 0,185434

Ejemplo n° 2

Calcular log2 64, log½ 4, log7

Solución

log2 64 = log2 26 = 6·log2 2 = 6·1 = 6

log½ 4 = log½ ½-2 = -2

log7 ⅐ = log7 1 - log7 7 = 0 - 1 = -1

Ejemplo n° 3

Desarrollar el logaritmo de la expresión:

B =x·y³
2·z4

Solución

El desarrollo del logaritmo es independiente de la base que se tome, por lo tanto se prescindirá de ella.

log B = logx·y³=
2·z4

log (x·y³) - log 2·z4 =

= log x + log y³ - ⅓·log 2·z4 =

= log x + 3·log y - (log 2 + 4·log z)/3 =

log B = log x + 3·log y - ⅓·log 2 - (4/3)·log z

Ejemplo n° 4

Desarrollar el logaritmo de la expresión:

C = Ejemplo, cómo calcular el logaritmo de una raíz

Solución

log C = log Ejemplo, cómo calcular el logaritmo de una raíz

log C = ½·log 2·2

log C = ½·(log 2 + log 2)

= ½·(log 2 + ½·log 2·2) = ½·log 2 + ¼·(log 2 + log ;2) =

= ½·log 2 + ¼·log 2 + ¼·½·log 2 = (½ + ¼ + ⅛)·log 2 = (7/2)·log 2

log C = (7/2)·log 2

Ejemplo n° 5

Obtener la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:

log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z

Solución

En este caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos anteriores.

log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z = log x³ + log y² - log z =

log E = log (x³·y²) - log z = logx³·y²
z

Por lo tanto, sí:

log E = logx³·y²
z
E =x³·y²
z

Ejemplo n° 6

Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:

logx 8 = ½; logx ⅑ = -2; log27 x = ⅓; log10 0,01 = x; log½ x = -1

Solución

logx 8 = ½ ⇒ x½ = 8 ⇒ x = 8 ⇒ x = 8² ⇒ x = 64

logx ⅑ = -2 ⇒ x-2 = ⅑ ⇒ 1/x² = ⅑ ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3

log27 x = ⅓ ⇒ 27 = x ⇒ x = xx = 3

log10 0,01 = x ⇒ 10x = 0,01 ⇒ 10x = 1/100 ⇒ 10x = ⅒² = 10-2x = -2

log½ x = -1 ⇒ ½-1 = x ⇒ x = 2

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

log10 X = log X

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.

Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:

log 1 = 0; puesto que 10° = 1 → log 10.000 = 4; puesto que 104 = 10.000.

log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10 → log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.

Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

loge X = ln X = LX

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:

ln 1 = 0; puesto que e° = 1

ln e² = 2; puesto que e² = e²

ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1

El número e tiene gran importancia en Matemática. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión

Definicién del número e

Su valor, con seis cifras decimales, es:

e = 2,718281…

Cambio de base

Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.

Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441 … según que la base considerada sea 8, ⅛, 2, ½, 10, e …

Es posible pasar del logaritmo de un número en una base a determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base b, sin más que aplicar la siguiente fórmula:

logb x = loga x/loga b

• Demostración:

Sea:

loga x = A ⇒ aA = x
logb x = B ⇒ bB = x
⇒ aA = bB

Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:

loga aA = loga bB ⇒ A·loga a = B·loga b

Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene:

B = A/loga b

Es decir,

logb x = loga x/loga b

Ejemplos de cambios de base de logaritmos

Ejemplo n° 1

Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8

Solución

Aplicando la fórmula, log16 8 = log2 8/log2 16 = ¾ = 0,75

Ejemplo n° 2

Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9 27

Solución

log9 27 = log3 27/log3 9 = 3/2 = 1,5

Ejemplo n° 3

Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.

Solución

log7 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207

Relación entre logaritmos decimales y neperianos

Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

ln X = log X/log e, donde log e = 0,434294

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

ln X = ln X/ln 10, donde ln 10 = 2,302585

Relación entre los logaritmos en base a y en base 1/a

Relación entre logaritmos

log1/a X = -loga X

Relación entre loga b y logb a

logb a = loga a/loga b = 1/loga b

Los logaritmos loga b y logb a son inversos.

Ejemplos de cambio de base de logaritmos inversos

Ejemplo n° 1

Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25.

Solución

ln 25 = log 25/log e = 1,397940/0,434294 = 3,218879

Ejemplo n° 2

Dado el ln 17 = 2,833213, calcular log 17.

Solución

log 17 = ln 17/ln 10 = 2,833213/2,302585 = 1,230448

Ejemplo n° 3

Calcular log 216, sabiendo que log6 216 = 3.

Solución

log 216 = -log6 216 = -3

Ejemplo n° 4

Calcular log3 10, sabiendo que log 3 = 0,477121.

Solución

log3 10 = 1/log 3 = 1/0,477121 = 2,095904

Ejemplo n° 5

Calcular log5 e, sabiendo que ln 5 = 1,609437.

Solución

log5 e = 1/ln 5 = 1/1,609437 = 0,621335

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

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