Funciones exponencial y logarítmica
Ejemplos de cálculo de logaritmos
Ejemplo n° 1
Sabiendo que log10 2 = 0,301030 y log10 3 = 0,477121, calcular log10 6, log10 8, log10 3/2, log10 ∛3,6
Solución
Para obtener los logaritmos pedidos a partir del logaritmo de 2 y de 3, hay que expresar los números 6; 8; 3/2 y 3,6 en función de 2 y 3.
log10 6 = log10 (2·3)
log10 6 = log10 2 + log10 3
log10 6 = 0,301030 + 0,477121
log10 6 = 0,778151
log10 8 = log10 2³
log10 8 = 3·log10 2
log10 8 = 3·0,301030
log10 8 = 0,903090
log10 3/2 = log10 3 - log10 2
log10 3/2 = 0,477121 - 0,301030
log10 3/2 = 0,146091
log10 ∛3,6 = ⅓·log10 (36/10)
log10 ∛3,6 = ⅓·log10 (2²·3²/10)
log10 ∛3,6 = (2·log10 2 + 2·log10 3 - log10 10)/3
log10 ∛3,6 = (2·0,301030 + 2·0,477121 - 1)/3
log10 ∛3,6 = 0,185434
Ejemplo n° 2
Calcular log2 64, log½ 4, log7 ⅐
Solución
log2 64 = log2 26 = 6·log2 2 = 6·1 = 6
log½ 4 = log½ ½-2 = -2
log7 ⅐ = log7 1 - log7 7 = 0 - 1 = -1
Ejemplo n° 3
Desarrollar el logaritmo de la expresión:
B = | x·y³ |
∛2·z4 |
Solución
El desarrollo del logaritmo es independiente de la base que se tome, por lo tanto se prescindirá de ella.
log B = log | x·y³ | = |
∛2·z4 |
log (x·y³) - log ∛2·z4 =
= log x + log y³ - ⅓·log 2·z4 =
= log x + 3·log y - (log 2 + 4·log z)/3 =
log B = log x + 3·log y - ⅓·log 2 - (4/3)·log z
Ejemplo n° 4
Desarrollar el logaritmo de la expresión:
C =
Solución
log C = log
log C = ½·log 2·√2·√2
log C = ½·(log 2 + log √2·√2)
= ½·(log 2 + ½·log 2·√2) = ½·log 2 + ¼·(log 2 + log ;√2) =
= ½·log 2 + ¼·log 2 + ¼·½·log 2 = (½ + ¼ + ⅛)·log 2 = (7/2)·log 2
log C = (7/2)·log 2
Ejemplo n° 5
Obtener la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:
log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z
Solución
En este caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos anteriores.
log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z = log x³ + log y² - log √z =
log E = log (x³·y²) - log √z = log | x³·y² |
√z |
Por lo tanto, sí:
log E = log | x³·y² |
√z |
E = | x³·y² |
√z |
Ejemplo n° 6
Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:
logx 8 = ½; logx ⅑ = -2; log27 x = ⅓; log10 0,01 = x; log½ x = -1
Solución
logx 8 = ½ ⇒ x½ = 8 ⇒ √x = 8 ⇒ x = 8² ⇒ x = 64
logx ⅑ = -2 ⇒ x-2 = ⅑ ⇒ 1/x² = ⅑ ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3
log27 x = ⅓ ⇒ 27⅓ = x ⇒ x = ∛x ⇒ x = 3
log10 0,01 = x ⇒ 10x = 0,01 ⇒ 10x = 1/100 ⇒ 10x = ⅒² = 10-2 ⇒ x = -2
log½ x = -1 ⇒ ½-1 = x ⇒ x = 2
Logaritmos decimales y logaritmos naturales
De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.
Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:
log10 X = log X
Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.
Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:
log 1 = 0; puesto que 10° = 1 → log 10.000 = 4; puesto que 104 = 10.000.
log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10 → log 0,1 = -1; puesto que 10-1 = 0,1.
Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:
loge X = ln X = LX
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e° = 1
ln e² = 2; puesto que e² = e²
ln e-1 = -1; puesto que e-1 = e-1
El número e tiene gran importancia en Matemática. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión
(1 + | 1 | )n, es decir: | lim n → ∞ | (1 + | 1 | )n = e |
n | n |
Su valor, con seis cifras decimales, es:
e = 2,718281…
Cambio de base
Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.
Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441 … según que la base considerada sea 8, ⅛, 2, ½, 10, e …
Es posible pasar del logaritmo de un número en una base "a" determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base "b", sin más que aplicar la siguiente fórmula:
logb x = loga x/loga b
• Demostración:
Sea:
loga x = A ⇒ aA = x logb x = B ⇒ bB = x | ⇒ aA = bB |
Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:
loga aA = loga bB ⇒ A·loga a = B·loga b
Despejando B, y teniendo en cuenta que loga a = 1, se tiene:
B = A/loga b
Es decir,
logb x = loga x/loga b
Ejemplos de cambios de base de logaritmos
Ejemplo n° 1
Sabiendo que log2 8 = 3, calcular log16 8
Solución
Aplicando la fórmula, log16 8 = log2 8/log2 16 = ¾ = 0,75
Ejemplo n° 2
Sabiendo que log3 27 = 3, calcular log9 27
Solución
log9 27 = log3 27/log3 9 = 3/2 = 1,5
Ejemplo n° 3
Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log7 2.
Solución
log7 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207
Relación entre logaritmos decimales y neperianos
Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:
ln X = log X/log e, donde log e = 0,434294
Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:
ln X = ln X/ln 10, donde ln 10 = 2,302585
Relación entre los logaritmos en base a y en base 1/a
log1/a X = | loga X | = | loga X | = -loga X |
loga 1/a | -1 |
log1/a X = -loga X
Relación entre loga b y logb a
logb a = loga a/loga b = 1/loga b
Los logaritmos loga b y logb a son inversos.
Ejemplos de cambio de base de logaritmos inversos
Ejemplo n° 1
Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25.
Solución
ln 25 = log 25/log e = 1,397940/0,434294 = 3,218879
Ejemplo n° 2
Dado el ln 17 = 2,833213, calcular log 17.
Solución
log 17 = ln 17/ln 10 = 2,833213/2,302585 = 1,230448
Ejemplo n° 3
Calcular log⅙ 216, sabiendo que log6 216 = 3.
Solución
log⅙ 216 = -log6 216 = -3
Ejemplo n° 4
Calcular log3 10, sabiendo que log 3 = 0,477121.
Solución
log3 10 = 1/log 3 = 1/0,477121 = 2,095904
Ejemplo n° 5
Calcular log5 e, sabiendo que ln 5 = 1,609437.
Solución
log5 e = 1/ln 5 = 1/1,609437 = 0,621335
Autor: Sin datos
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)