Fisicanet ®

Solución del ejercicio n° 2 de funciones lineales. Problema resuelto.Ejemplo, cómo resolver y graficar sistemas de ecuaciones lineales

Problema n° 2 de funciones lineales

Problema n° 2

Hallar las ecuaciones implícita y explícita de las siguientes rectas y graficar:

  1. Pasa por el punto P(2; 2) y es paralela a la recta de ecuación 3·x - 2·y + 1 = 0.
  2. Pasa por el punto P(-1; 3) y es perpendicular a la recta de ecuación -3·x/2 + 5·y/6 - 8 = 2.
  3. r1 pasa por el punto Q1(2; 3) y r2 pasa por el punto Q2(-2; -3), sabiendo que son perpendiculares.

a.

Desarrollo

Datos:

P(2; 2)

3·x - 2·y + 1 = 0

Solución

Expresamos la segunda recta en forma explícita:

3·x - 2·y + 1 = 0

3·x + 1 = 2·y

2·y = 3·x + 1

y = (3·x + 1)/2

y = 3·x/2 + ½

La pendiente de la segunda recta es:

m2 = 3/2

La ordenada al origen es:

b2 = ½

Si la recta buscada es paralela a la segunda recta, entonces:

m1 = m2

Ahora utilizamos la fórmula para generar la ecuación de una recta con la pendiente y un punto:

y - y1 = m1·(x - x1)

Reemplazando:

y - 2 = (3/2)·(x - 2)

y - 2 = (3/2)·x - (3/2)·2

y - 2 = 3·x/2 - 3

y = 3·x/2 - 3 + 2

Resultado, la ecuación explícita es:

y = 3·x/2 - 1

m1 = 3/2

b1 = -1

Resultado, la ecuación implícita es:

y - 3·x/2 + 1 = 0

La gráfica es:

Gráfica de rectas paralelas
Gráfica de rectas paralelas

b.

Desarrollo

Datos:

P(-1; 3)

-3·x/2 + 5·y/6 - 8 = 2

Solución

Expresamos la segunda recta en forma explícita:

-3·x/2 + 5·y/6 = 8 + 2

5·y/6 = 3·x/2 + 10

y = 6·(3·x/2 + 10)/5

y = (18·x/2 + 60)/5

y = (9·x + 60)/5

y = 9·x/5 + 60/5

y = 9·x/5 + 12

La pendiente de la segunda recta es:

m2 = 9/5

La ordenada al origen es:

b2 = 12

Si la recta buscada es perpendicular a la segunda recta, entonces:

m1 ⊥ m2 ⇒ m1 = -1/m2

Entonces:

m1 = -1/(9/5) = -5/9

Ahora utilizamos la fórmula para generar la ecuación de una recta con la pendiente y un punto:

y - y1 = m1·(x - x1)

Reemplazando:

y - 3 = (-5/9)·(x - (-1))

y - 3 = (-5/9)·(x + 1)

y - 3 = -5·x/9 - 5/9

y = -5·x/9 - 5/9 + 3

y = -5·x/9 + (- 5 + 3·9)/9

y = -5·x/9 + (- 5 + 27)/9

Resultado, la ecuación explícita es:

y = -5·x/9 + 22/9

m1 = -5/9

b1 = 22/9

Resultado, la ecuación implícita es:

y + 5·x/9 - 22/9 = 0

La gráfica es:

Gráfica de rectas perpendiculares
Gráfica de rectas perpendiculares

c.

Desarrollo

Datos:

Q1(2; 3)

Q2(-2; -3)

r1 ⊥ r2

Solución

Dado que las rectas son perpendiculares, sus pendientes son:

m1 = -1/m2

r1: y - y1 = m1·(x - x1)

r2: y - y2 = m2·(x - x2) ⇒ y - y2 = (-1/m1)·(x - x2)

r1: y - 3 = m1·(x - 2)

r2: y - (-3) = (-1/m1)·[x - (-2)] ⇒ y + 3 = (-1/m1)·(x + 2)

Despejamos la pendiente m1 de la ecuación r1:

r1: y - 3 = m1·(x - 2)

m1 = (y - 3)/(x - 2) (1)

Y la reemplazamos en la ecuación de r2:

y + 3 = {-1/[(y - 3)/(x - 2)]}·(x + 2)

Luego resolvemos algebraicamente:

y + 3 = [-(x - 2)/(y - 3)]·(x + 2)

(y + 3)·(y - 3) = -(x - 2)·(x + 2) (2)

y² - 3² = -(x² - 2²)

y² - 9 = -(x² - 4)

y² - 9 = -x² + 4

y² + x² = 4 + 9

y² + x² = 13

Todos los puntos que satisfagan ésta ecuación corresponden a rectas perpendiculares que pasan por los puntos citados. Observando la ecuación (2) obtenemos los puntos que cumplen con la ecuación.

Para y = 3, tenemos:

(3)² + x² = 13

9 + x² = 13

x² = 13 - 9

x² = 4

x1 = 2

x2 = -2

Formamos los puntos:

Q1(2; 3) se descarta, está dado en el enunciado.

P1(-2; 3)

Para y = -3, tenemos:

(-3)² + x² = 13

9 + x² = 13

x² = 13 - 9

x² = 4

x1 = 2

x2 = -2

Formamos los puntos:

Q2(-2; -3) se descarta, está dado en el enunciado.

P2(2; -3)

P1 y P2 son puntos de intersección de distintos pares de rectas perpendiculares, con cualquiera de ellos y los datos del enunciado podemos formar un par de rectas perpendiculares que pasen por los puntos Q1 y Q2

Tomemos P2 y reemplacemos en la ecuación de la pendiente (2):

m1 = (y - 3)/(x - 2)

m1 = (-3 - 3)/(2 - 2)

m1 = -6/0 → ∞

¡Solución indeterminada! Correcto una pendiente es paralela al eje Y.

Usemos P1 y reemplacemos en la ecuación (2):

m1 = (y - 3)/(x - 2)

m1 = (3 - 3)/(-2 - 2)

m1 = -0/4 → 0

Pendiente paralela el eje X, cumple con la condición de perpendicularidad.

Las ecuaciones de las rectas serán:

r1: y - 3 = m1·(x - 2)

r1: y - 3 = 0·(x - 2)

Resultado, la ecuación implícita es:

r1: y - 3 = 0

Resultado, la ecuación explícita es:

r1: y = 3 (paralela el eje X)

r2: y + 3 = (-1/m1)·(x + 2)

r2: (y + 3)·(-m1) = x + 2

r2: (y + 3)·0 = x + 2

Resultado, la ecuación implícita es:

r2: 0 = x + 2

Resultado, la ecuación explícita es:

r2: x = -2 (paralela el eje Y)

• Los invito a probar con la pendiente inversa (m2).

La gráfica es:

Gráfica de rectas perpendiculares
Gráfica de rectas perpendiculares

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.