Ejemplo, cómo calcular la distancia de un punto a una recta
Problema n° 4 de funciones lineales
Enunciado del ejercicio n° 4
Hallar la distancia del punto Q(-2; -3) a la recta de ecuación 8·x + 15·y - 24 = 0.
Desarrollo
Datos:
Q(-2; -3)
r1: 8·x + 15·y - 24 = 0
Fórmulas:
Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:
y - y1 = m·(x - x1)
Solución
Para hallar la distancia de una recta a un punto debemos hallar una recta que pase por el punto y que sea perpendicular a la recta dada.
r1 ⊥ r2
Las pendientes deben ser:
| m1 = | -1 |
| m2 |
La pendiente m1 la hallamos expresando la recta r1 en forma explícita.
r1: 8·x + 15·y - 24 = 0
Despejamos "y":
8·x + 15·y - 24 = 0
15·y = -8·x + 24
| y = | -8·x + 24 |
| 15 |
| y = | -8·x | + | 24 |
| 15 | 15 |
| y = | -8·x | + | 8 |
| 15 | 5 |
Por lo tanto:
| m2 = | -1 |
| m1 |
| m2 = | -1 |
| -8 | |
| 15 |
| m2 = | 15 |
| 8 |
Con el valor de la pendiente m2 y el punto dado hallamos la ecuación de r2.
Aplicamos la fórmula dada y reemplazamos por los valores:
r2: y - y2 = m2·(x - x2)
| y - (-3) = | 15 | ·[x - (-2)] |
| 8 |
| y + 3 = | 15 | ·(x + 2) |
| 8 |
| y + 3 = | 15 | ·x + | 15 | ·2 |
| 8 | 8 |
| y = | 15 | ·x + | 15 | - 3 |
| 8 | 4 |
| y = | 15 | ·x + | 3 |
| 8 | 4 |
Hallamos el punto de intersección de ambas rectas por igualación:
| -8 | ·x + | 8 | = | 15 | ·x + | 3 |
| 15 | 5 | 8 | 4 |
| -8 | ·x - | 15 | ·x = | 3 | - | 8 |
| 15 | 8 | 4 | 5 |
| -8·8 - 15·15 | ·x = | 3·5 - 4·8 |
| 15·8 | 4·5 |
| -64 - 225 | ·x = | 15 - 32 |
| 120 | 20 |
| -289 | ·x = | -17 |
| 120 | 20 |
| x = | -17·120 |
| -289·20 |
| x = | 6 |
| 17 |
Con el valor de "x" reemplazamos en la ecuación de la recta:
| y = | -8 | · | 6 | + | 8 |
| 15 | 17 | 5 |
| y = | -16 | + | 8 |
| 85 | 5 |
| y = | -16 + 8·17 |
| 85 |
| y = | -16 + 136 |
| 85 |
| y = | 120 |
| 85 |
| y = | 24 |
| 17 |
El punto de intersección de ambas rectas es:
| P( | 6 | ; | 24 | ) |
| 17 | 17 |
Calculamos la distancia entre los puntos "P" y "Q" aplicando el teorema de Pitágoras:
| d² = (-2 - | 6 | )² + (-3 - | 24 | )² |
| 17 | 17 |
| d² = ( | -2·17 - 6 | )² + ( | -3·17 - 24 | )² |
| 17 | 17 |
| d² = ( | -40 | )² + ( | -75 | )² |
| 17 | 17 |
| d² = | 1.600 | + | 5.625 |
| 289 | 289 |
| d² = | 7.225 |
| 289 |
d² = 25
d = √25
d = 5
Resultado, la distancia del punto "Q" a la recta es:
d = 5
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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