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Ejemplo, cómo calcular la distancia de un punto a una recta

Problema n° 4 de funciones lineales

Enunciado del ejercicio n° 4

Hallar la distancia del punto Q(-2; -3) a la recta de ecuación 8·x + 15·y - 24 = 0.

Desarrollo

Datos:

Q(-2; -3)

r1: 8·x + 15·y - 24 = 0

Fórmulas:

Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:

y - y1 = m·(x - x1)

Solución

Para hallar la distancia de una recta a un punto debemos hallar una recta que pase por el punto y que sea perpendicular a la recta dada.

r1 ⊥ r2

Las pendientes deben ser:

m1 =-1
m2

La pendiente m1 la hallamos expresando la recta r1 en forma explícita.

r1: 8·x + 15·y - 24 = 0

Despejamos "y":

8·x + 15·y - 24 = 0

15·y = -8·x + 24

y =-8·x + 24
15
y =-8·x+24
1515
y =-8·x+8
155

Por lo tanto:

m2 =-1
m1
m2 =-1
-8
 15
m2 =15
8

Con el valor de la pendiente m2 y el punto dado hallamos la ecuación de r2.

Aplicamos la fórmula dada y reemplazamos por los valores:

r2: y - y2 = m2·(x - x2)

y - (-3) =15·[x - (-2)]
8
y + 3 =15·(x + 2)
8
y + 3 =15·x +15·2
88
y =15·x +15- 3
84
y =15·x +3
84

Hallamos el punto de intersección de ambas rectas por igualación:

-8·x +8=15·x +3
15584
-8·x -15·x =3-8
15845
-8·8 - 15·15·x =3·5 - 4·8
15·84·5
-64 - 225·x =15 - 32
12020
-289·x =-17
12020
x =-17·120
-289·20
x =6
17

Con el valor de "x" reemplazamos en la ecuación de la recta:

y =-8·6+8
15175
y =-16+8
855
y =-16 + 8·17
85
y =-16 + 136
85
y =120
85
y =24
17

El punto de intersección de ambas rectas es:

P(6; 24)
1717

Calculamos la distancia entre los puntos "P" y "Q" aplicando el teorema de Pitágoras:

d² = (-2 -6)² + (-3 -24
1717
d² = (-2·17 - 6)² + (-3·17 - 24
1717
d² = (-40)² + (-75
1717
d² =1.600+5.625
289289
d² =7.225
289

d² = 25

d = 25

d = 5

Resultado, la distancia del punto "Q" a la recta es:

d = 5

Graficamos:

Gráfica de rectas perpendiculares

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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