Problema nº 4 de funciones lineales, distancia de un punto a una recta - TP01

Enunciado del ejercicio nº 4

Hallar la distancia del punto Q(-2; -3) a la recta de ecuación 8·x + 15·y - 24 = 0.

Desarrollo

Datos:

Q(-2; -3)

r₁: 8·x + 15·y - 24 = 0

Fórmulas:

Ecuación de la recta dado un punto y la pendiente:

y - y₁ = m·(x - x₁)

Solución

Para hallar la distancia de una recta a un punto debemos hallar una recta que pase por el punto y que sea perpendicular a la recta dada.

r₁ r₂

Las pendientes deben ser:

Ecuación de la pendiente para rectas perpendiculares

La pendiente m₁ la hallamos expresando la recta r₁ en forma explícita.

r₁: 8·x + 15·y - 24 = 0

Despejamos "y":

8·x + 15·y - 24 = 0

15·y = -8·x + 24

Cálculo de la ecuación de una recta

Por lo tanto:

Ecuación de la pendiente para rectas perpendiculares

Cálculo de la pendiente de una recta

Con el valor de la pendiente m₂ y el punto dado hallamos la ecuación de r₂.

Aplicamos la fórmula dada y reemplazamos por los valores:

r₂: y - y₂ = m₂·(x - x₂)

Cálculo de la ecuación de una recta

Hallamos el punto de intersección de ambas rectas por igualación:

Cálculo del punto de intersección

Con el valor de "x" reemplazamos en la ecuación de la recta:

Cálculo del punto de intersección

El punto de intersección de ambas rectas es:

Cálculo del punto de intersección

Calculamos la distancia entre los puntos "P" y "Q" aplicando el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la distancia entre puntos

d = 5

Resultado, la distancia del punto "Q" a la recta es:

d = 5

Graficamos:

Gráfica de rectas perpendiculares

Ejemplo, cómo calcular la distancia de un punto a una recta

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