Ejemplo, cómo resolver ecuaciones de segundo grado
Problema n° 1 de funciones cuadráticas
Enunciado del ejercicio n° 1
Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) x² - 16 = 0
b) 2·x² + 30·x = 0
c) x² - 7·x - 18 = 0
d) 2·x² - 16·x + 30 = 0
e) 20·x² = 0
f) 6·x - 9 = -x²
g) x² + 8·x + 12 = 0
h) x² - 1 = 0
Solución
a)
x² - 16 = 0
Despejamos "x":
x² = 16
x = ±√16
Resolvemos y expresamos el resultado:
x1 = 4
x2 = -4
b)
2·x² + 30·x = 0
Extraemos factor común "2·x":
2·x·(x + 15) = 0
x·(x + 15) = 0
Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:
x = 0 ∧ x + 15 = 0
x = 0 ∧ x = -15
Expresamos el resultado:
x1 = 0
x2 = -15
c)
x² - 7·x - 18 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -7
c = -18
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-7) ± √(-7)² - 4·1·(-18) |
| 2·1 |
| x1,2 = | 7 ± √49 + 4·18 |
| 2 |
| x1,2 = | 7 ± √49 + 72 |
| 2 |
| x1,2 = | 7 ± √121 |
| 2 |
| x1,2 = | 7 ± 11 |
| 2 |
| x1 = | 7 + 11 |
| 2 |
| x1 = | 18 |
| 2 |
| x2 = | 7 - 11 |
| 2 |
| x2 = | -4 |
| 2 |
Expresamos el resultado:
x1 = 9
x2 = -2
d)
2·x² - 16·x + 30 = 0
Extraemos factor común "2":
2·(x² - 8·x + 15) = 0
x² - 8·x + 15 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -8
c = 15
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-8) ± √(-8)² - 4·1·15 |
| 2·1 |
| x1,2 = | 8 ± √64 - 60 |
| 2 |
| x1,2 = | 8 ± √4 |
| 2 |
| x1,2 = | 8 ± 2 |
| 2 |
| x1 = | 8 + 2 |
| 2 |
| x1 = | 10 |
| 2 |
| x2 = | 8 - 2 |
| 2 |
| x2 = | 6 |
| 2 |
Expresamos el resultado:
x1 = 5
x2 = 3
e)
20·x² = 0
Despejamos "x":
x² = 0
Expresamos el resultado:
x1 = x2 = 0
f)
6·x - 9 = -x²
Igualamos a cero y ordenamos por grado:
x² + 6·x - 9 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 6
c = -9
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -6 ± √6² - 4·1·(-9) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -6 ± √36 + 36 |
| 2 |
| x1,2 = | -6 ± √2·36 |
| 2 |
| x1,2 = | -6 ± √2·6² |
| 2 |
| x1,2 = | -6 ± 6·√2 |
| 2 |
x1,2 = -3 ± 3·√2
Expresamos el resultado:
x1 = -3 + 3·√2
x2 = -3 - 3·√2
g)
x² + 8·x + 12 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 8
c = 12
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -8 ± √8² - 4·1·12 |
| 2·1 |
| x1,2 = | -8 ± √64 - 48 |
| 2 |
| x1,2 = | -8 ± √16 |
| 2 |
| x1,2 = | -8 ± 4 |
| 2 |
| x1 = | -8 + 4 |
| 2 |
| x1 = | -4 |
| 2 |
| x2 = | -8 - 4 |
| 2 |
| x2 = | -12 |
| 2 |
Expresamos el resultado:
x1 = -2
x2 = -6
h)
x² - 1 = 0
Despejamos "x":
x² = 1
x = ±√1
Resolvemos y expresamos el resultado:
x1 = 1
x2 = -1
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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