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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones de segundo grado

Problema n° 2 de funciones cuadráticas

Enunciado del ejercicio n° 2

Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones:

a) 4·x4 = 37·x² - 9

b) x² - 9·x = -18·x

c) x4 - 25·x² + 4 = 0

d) 16·x² - 50·x = 0

e) x² - 10·x - 25 = 0

f) 3·x² + 5·x = 8

g) 4·x4 + 16·x² = 0

Solución

a)

4·x4 = 37·x² - 9

Igualamos a cero y ordenamos por grado:

4·x4 - 37·x² + 9 = 0

Hacemos un cambio de variable v = x²:

4·v² - 37·v + 9 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

v1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 4

b = -37

c = 9

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

v1,2 =-(-37) ± (-37)² - 4·4·9
2·4
v1,2 =37 ± 1.369 - 144
8
v1,2 =37 ± 1.225
8
v1,2 =37 ± 35
8
v1 =37 + 35
8
v1 =72
8

v1 = 9

v2 =37 - 35
8
v2 =5
8

v2 = ¼

Hacemos el cambio de variable inversa:

v1 = x1,2² = 9

v2 = x3,4² = ¼

x1,2² = 9

x1,2 = ±9

x3,4² = ¼

x3,4 = ±¼

Expresamos el resultado:

x1 = 3

x2 = -3

x3 = ½

x4 = -½

b)

x² - 9·x = -18·x

Igualamos a cero:

x² - 9·x + 18·x = 0

x² + 9·x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x + 9) = 0

Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:

x = 0 ∧ x + 9 = 0

x = 0 ∧ x = -9

Expresamos el resultado:

x1 = 0

x2 = -9

c)

x4 - 4·x² + 3 = 0

Hacemos un cambio de variable v = x²:

v² - 4·v + 3 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -4

c = 3

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

v1,2 =-(-4) ± (-4)² - 4·1·3
2·1
v1,2 =4 ± 16 - 12
2
v1,2 =4 ± 4
2
v1,2 =4 ± 2
2
v1 =4 + 2
2
v1 =6
2

v1 = 3

v2 =4 - 2
2
v2 =2
2

v2 = 1

Hacemos el cambio de variable inversa:

v1 = x1,2² = 3

v2 = x3,4² = 1

x1,2² = 3

x1,2 = ±3

x3,4² = 1

x3,4 = ±1

x3,4 = ±1

Expresamos el resultado:

x1 = 3

x2 = -3

x3 = 1

x4 = -1

d)

16·x² - 50·x = 0

Extraemos factor común "2·x":

2·x·(8·x - 25) = 0

Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:

x = 0 ∧ 8·x - 25 = 0

x = 0 ∧ x = 25/8

Expresamos el resultado:

x1 = 0

x2 = 25/8

e)

x² - 10·x - 25 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 1

b = -10

c = -25

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-(-10) ± (-10)² - 4·1·(-25)
2·1
x1,2 =10 ± 100 + 4·25
2
x1,2 =10 ± 100 + 100
2
x1,2 =10 ± 200
2
x1,2 =10 ± 2³·5²
2
x1,2 =10 ± 10·2
2

x1,2 = 5 ± 5·2

Expresamos el resultado:

x1 = 5 + 5·2

x2 = 5 - 5·2

f)

3·x² + 5·x = 8

Igualamos a cero y ordenamos por grado:

3·x² + 5·x - 8 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x1,2 =-b ± b² - 4·a·c
2·a

Siendo:

a = 3

b = 5

c = -8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x1,2 =-5 ± 5² - 4·3·(-8)
2·1
x1,2 =-5 ± 25 + 12·8
6
x1,2 =-5 ± 25 + 96
6
x1,2 =-5 ± 121
6
x1,2 =-5 ± 11
6
x1 =-5 + 11
6
x1 =6
6
x2 =-5 - 11
6
x2 =-16
6

Expresamos el resultado:

x1 = 1

x2 = -8/3

g)

4·x4 + 16·x² = 0

Extraemos factor común "4·x²":

4·x²·(x² + 4) = 0

Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:

x² = 0 ∧ x² + 4 = 0

x² = 0 ∧ x² = -4

x² = 0 ∧ x = ±-4

Del primer factor se obtienen dos raíces reales, en el segundo factor las raíces no pertenecen a los reales.

Expresamos el resultado:

x1 = x2 = 0

x3 = ∉ ℜ

x4 = ∉ ℜ

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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