Problema nº 2 de funciones cuadráticas o de segundo grado - TP02

Enunciado del ejercicio nº 2

Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones:

a) 4·x⁴ = 37·x² - 9

b) x² - 9·x = -18·x

c) x⁴ - 25·x² + 4 = 0

d) 16·x² - 50·x = 0

e) x² - 10·x - 25 = 0

f) 3·x² + 5·x = 8

g) 4·x⁴ + 16·x² = 0

Solución

a)

4·x⁴ = 37·x² - 9

Igualamos a cero y ordenamos por grado:

4·x⁴ - 37·x² + 9 = 0

Hacemos un cambio de variable v = x²:

4·v² - 37·v + 9 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 4

b = -37

c = 9

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

v₁ = 9

v₂ = ¼

Hacemos el cambio de variable inversa:

v₁ = x_1,2² = 9

v₂ = x_3,4² = ¼

x_1,2² = 9

x_3,4² = ¼

Expresamos el resultado:

x₁ = 3

x₂ = -3

x₃ = ½

x₄ = -½

b)

x² - 9·x = -18·x

Igualamos a cero:

x² - 9·x + 18·x = 0

x² + 9·x = 0

Extraemos factor común "x":

x·(x + 9) = 0

Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:

x = 0 ∧ x + 9 = 0

x = 0 ∧ x = -9

Expresamos el resultado:

x₁ = 0

x₂ = -9

c)

x⁴ - 4·x² + 3 = 0

Hacemos un cambio de variable v = x²:

v² - 4·v + 3 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = -4

c = 3

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

v_1,2 = 2 ± 1

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

v₁ = 2 + 1

v₁ = 3

v₂ = 2 - 1

v₂ = 1

Hacemos el cambio de variable inversa:

v₁ = x_1,2² = 3

v₂ = x_3,4² = 1

x_1,2² = 3

x_3,4² = 1

x_3,4 = ±1

Expresamos el resultado:

x₃ = 1

x₄ = -1

d)

16·x² - 50·x = 0

Extraemos factor común "2·x":

2·x·(8·x - 25) = 0

Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:

x = 0 ∧ 8·x - 25 = 0

x = 0 ∧ x = 25/8

Expresamos el resultado:

x₁ = 0

x₂ = 25/8

e)

x² - 10·x - 25 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 1

b = -10

c = -25

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Expresamos el resultado:

f)

3·x² + 5·x = 8

Igualamos a cero y ordenamos por grado:

3·x² + 5·x - 8 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

Siendo:

a = 3

b = 5

c = -8

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:

Expresamos el resultado:

x₁ = 1

x₂ = -8/3

g)

4·x⁴ + 16·x² = 0

Extraemos factor común "4·x²":

4·x²·(x² + 4) = 0

Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:

x² = 0 ∧ x² + 4 = 0

x² = 0 ∧ x² = -4

Del primer factor se obtienen dos raíces reales, en el segundo factor las raíces no pertenecen a los reales.

Expresamos el resultado:

x₁ = x₂ = 0

x₃ = ∉ ℜ

x₄ = ∉ ℜ

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones de segundo grado