Ejemplo, cómo resolver ecuaciones de segundo grado
Problema n° 2 de funciones cuadráticas
Enunciado del ejercicio n° 2
Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) 4·x4 = 37·x² - 9
b) x² - 9·x = -18·x
c) x4 - 25·x² + 4 = 0
d) 16·x² - 50·x = 0
e) x² - 10·x - 25 = 0
f) 3·x² + 5·x = 8
g) 4·x4 + 16·x² = 0
Solución
a)
4·x4 = 37·x² - 9
Igualamos a cero y ordenamos por grado:
4·x4 - 37·x² + 9 = 0
Hacemos un cambio de variable v = x²:
4·v² - 37·v + 9 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| v1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 4
b = -37
c = 9
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| v1,2 = | -(-37) ± √(-37)² - 4·4·9 |
| 2·4 |
| v1,2 = | 37 ± √1.369 - 144 |
| 8 |
| v1,2 = | 37 ± √1.225 |
| 8 |
| v1,2 = | 37 ± 35 |
| 8 |
| v1 = | 37 + 35 |
| 8 |
| v1 = | 72 |
| 8 |
v1 = 9
| v2 = | 37 - 35 |
| 8 |
| v2 = | 5 |
| 8 |
v2 = ¼
Hacemos el cambio de variable inversa:
v1 = x1,2² = 9
v2 = x3,4² = ¼
x1,2² = 9
x1,2 = ±√9
x3,4² = ¼
x3,4 = ±√¼
Expresamos el resultado:
x1 = 3
x2 = -3
x3 = ½
x4 = -½
b)
x² - 9·x = -18·x
Igualamos a cero:
x² - 9·x + 18·x = 0
x² + 9·x = 0
Extraemos factor común "x":
x·(x + 9) = 0
Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:
x = 0 ∧ x + 9 = 0
x = 0 ∧ x = -9
Expresamos el resultado:
x1 = 0
x2 = -9
c)
x4 - 4·x² + 3 = 0
Hacemos un cambio de variable v = x²:
v² - 4·v + 3 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -4
c = 3
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| v1,2 = | -(-4) ± √(-4)² - 4·1·3 |
| 2·1 |
| v1,2 = | 4 ± √16 - 12 |
| 2 |
| v1,2 = | 4 ± √4 |
| 2 |
| v1,2 = | 4 ± 2 |
| 2 |
| v1 = | 4 + 2 |
| 2 |
| v1 = | 6 |
| 2 |
v1 = 3
| v2 = | 4 - 2 |
| 2 |
| v2 = | 2 |
| 2 |
v2 = 1
Hacemos el cambio de variable inversa:
v1 = x1,2² = 3
v2 = x3,4² = 1
x1,2² = 3
x1,2 = ±√3
x3,4² = 1
x3,4 = ±√1
x3,4 = ±1
Expresamos el resultado:
x1 = √3
x2 = -√3
x3 = 1
x4 = -1
d)
16·x² - 50·x = 0
Extraemos factor común "2·x":
2·x·(8·x - 25) = 0
Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:
x = 0 ∧ 8·x - 25 = 0
x = 0 ∧ x = 25/8
Expresamos el resultado:
x1 = 0
x2 = 25/8
e)
x² - 10·x - 25 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = -10
c = -25
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-10) ± √(-10)² - 4·1·(-25) |
| 2·1 |
| x1,2 = | 10 ± √100 + 4·25 |
| 2 |
| x1,2 = | 10 ± √100 + 100 |
| 2 |
| x1,2 = | 10 ± √200 |
| 2 |
| x1,2 = | 10 ± √2³·5² |
| 2 |
| x1,2 = | 10 ± 10·√2 |
| 2 |
x1,2 = 5 ± 5·√2
Expresamos el resultado:
x1 = 5 + 5·√2
x2 = 5 - 5·√2
f)
3·x² + 5·x = 8
Igualamos a cero y ordenamos por grado:
3·x² + 5·x - 8 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 3
b = 5
c = -8
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -5 ± √5² - 4·3·(-8) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -5 ± √25 + 12·8 |
| 6 |
| x1,2 = | -5 ± √25 + 96 |
| 6 |
| x1,2 = | -5 ± √121 |
| 6 |
| x1,2 = | -5 ± 11 |
| 6 |
| x1 = | -5 + 11 |
| 6 |
| x1 = | 6 |
| 6 |
| x2 = | -5 - 11 |
| 6 |
| x2 = | -16 |
| 6 |
Expresamos el resultado:
x1 = 1
x2 = -8/3
g)
4·x4 + 16·x² = 0
Extraemos factor común "4·x²":
4·x²·(x² + 4) = 0
Se trata de un producto, pare que sea igual a cero ambos factores deben igualarse a cero:
x² = 0 ∧ x² + 4 = 0
x² = 0 ∧ x² = -4
x² = 0 ∧ x = ±√-4
Del primer factor se obtienen dos raíces reales, en el segundo factor las raíces no pertenecen a los reales.
Expresamos el resultado:
x1 = x2 = 0
x3 = ∉ ℜ
x4 = ∉ ℜ
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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