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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 22 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 22
Calcular la longitud de la curva:
| y = ∫ | x | √cos 2·t·dt; 0 ≤ t ≤ π/4 |
| 0 |
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
Si:
x = t
f'(x) = √cos 2·x
[f'(x)]² = cos 2·x
Aplicando la fórmula:
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx ⇒ s = ∫ | π/4 | √1 + cos 2·x·dx |
| a | 0 |
Como:
1 = sen² x + cos² x
y
cos 2·x = cos² x - sen² x
| s = ∫ | π/4 | √sen² x + cos² x + cos² x - sen² x·dx |
| 0 |
| s = ∫ | π/4 | √2·cos² x·dx |
| 0 |
| s = √2·∫ | π/4 | √cos² x·dx |
| 0 |
| s = √2·∫ | π/4 | cos x·dx |
| 0 |
| s = √2·sen x | π/4 |
| 0 |
s = √2·(sen π/4 - sen 0)
s = √2·(√2/2 - 0)
s = √2·√2/2
Resultado, la longitud de la curva es:
s = 1
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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