Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 23 de funciones de varias variables
Enunciado del ejercicio n° 23
Calcular la longitud de la curva:
| f(x) = ∫ | x | (t + 1)½·dt; 1 ≤ x ≤ 4 |
| 1 |
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
Si:
x = t
f'(x) = (x + 1)½
Luego:
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
| s = ∫ | 4 | √1 + (√x + 1)²·dx |
| 1 |
| s = ∫ | 4 | √1 + x + 1·dx |
| 1 |
| s = ∫ | 4 | √2 + x·dx |
| 1 |
| s = ⅔·√(2 + x)³ | 4 |
| 1 |
s = ⅔·[√(2 + 4)³ - √(2 + 1)³]
s = ⅔·[√6³ - √3³]
s = ⅔·[6·√6 - 3·√3]
s = ⅔·3·[2·√6 - √3]
s = 2·[2·√6 - √3]
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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