Fisicanet ®

Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 25 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 25

Calcular el perímetro del dominio plano:

Gráfico del perímetro de un dominio plano
Gráfico del perímetro de un dominio plano

(x - 1)² ≤ 4·y ≤ 1 + 2·x

Desarrollo

Fórmulas:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

Para el perímetro calculamos la longitud de ambas curvas y luego las sumamos.

s1 ⇒ y = ½·x + ¼ ⇒ y' = ½
s2 ⇒ y = ¼·(x - 1)²
y' = ½·(x - 1)

s = s1 + s2

Hallamos los límites de integración:

(x - 1)² = 1 + 2·x

x² - 2·x + 1 = 1 + 2·x

x² - 4·x = 0

x·(x - 4) = 0

x1 = 0 y x2 = 4

Planteamos las integrales:

s1 = 41 + (½)²·dx
 
0
s2 = 41 + [½·(x - 1)]²·dx
 
0

Resolvemos:

s1 = 41 + ¼·dx
 
0
s1 = 5/4·4dx
 
0
s1 = ½·5·x4
 
0

s1 = ½·5·4 - ½·5·0

s1 = 2·5

Para la segunda integral aplicamos un cambio de variable:

½·(x - 1) = sinh t
dx = 2·cosh t

s2 = 2· 1 + sinh² t·cosh t·dt

Como:

cosh t = 1 + sinh² t

s2 = 2· cosh t·cosh t·dt

s2 = 2· cosh² t·dt

s2 = 2·[½·(t + sinh t·cosh t)]

s2 = t + sinh t·cosh t

Revirtiendo el cambio de variable con:

t + sinh t·cosh t = log {½·(x - 1) + 1 + [½·(x - 1)]²} + ½·(x - 1)·1 + [½·(x - 1)]²

s2 = log {½·(x - 1) + 1 + [½·(x - 1)]²} + ½·(x - 1)·1 + [½·(x - 1)]²4
 
0

s2 = [log {½·(4 - 1) + 1 + [½·(4 - 1)]²} + ½·(4 - 1)·1 + [½·(4 - 1)]²] - [log {½·(0 - 1) + 1 + [½·(0 - 1)]²} + ½·(0 - 1)·1 + [½·(0 - 1)]²]

s2 = {log [½·3 + 1 + (½·3)²] + ½·3·1 + (½·3)²} - [log {½·(-1) + 1 + [½·(-1)]²} + ½·(-1)·1 + [½·(-1)]²]

s2 = [log (3/2 + 1 + 9/4) + (3/2)·1 + 9/4] - [log (-½ + 1 + ¼) - ½·1 + ¼]

s2 = [log (3/2 + 13/4) + (3/2)·13/4] - [log (-½ + 5/4) - ½·5/4]

s2 = log (3+1·13) +3·1·13 - log (-1+1·5) +1·1·5
22222222
s2 = log3 + 13+3·13 - log5 - 1+15
2424
s2 = log½·(3 + 13)+3·13 +15
½·(5 - 1)44
s2 = log3 + 13+3·13 +15
5 - 144

Sumando:

s = 2·5 + log3 + 13+3·13 +15
5 - 144
s = log3 + 13+3·13 +95
5 - 144

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

Ver condiciones para uso de los contenidos de fisicanet.com.ar

Éste sitio web usa cookies, si permanece aquí acepta su uso.

Puede leer más sobre el uso de cookies en nuestra política de privacidad.