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Solución del ejercicio n° 25 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 25 de funciones de varias variables

Problema n° 25

Calcular el perímetro del dominio plano:

Gráfico del perímetro de un dominio plano
Gráfico del perímetro de un dominio plano

(x - 1)² ≤ 4·y ≤ 1 + 2·x

Desarrollo

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

Para el perímetro calculamos la longitud de ambas curvas y luego las sumamos.

s1 ⇒ y = ½·x + ¼ ⇒ y' = 1/2

s2 ⇒ y = ¼·(x - 1)² ⇒ y' = ½·(x - 1)

s = s1 + s2

Hallamos los límites de integración:

(x - 1)² = 1 + 2·x

x² - 2·x + 1 = 1 + 2·x

x² - 4·x = 0

x·(x - 4) = 0

x1 = 0 y x2 = 4

Planteamos las integrales:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Resolvemos:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Para la segunda integral aplicamos un cambio de variable:

½·(x - 1) = sinh t

dx = 2·cosh t

s2 = 2· 1 + sinh² t·cosh t·dt

Como:

cosh t = 1 + sinh² t

s2 = 2· cosh t·cosh t·dt

s2 = 2· cosh² t·dt

s2 = 2·[½·(t + sinh t·cosh t)]

s2 = t + sinh t·cosh t

Revirtiendo el cambio de variable con:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Sumando:

Cálculo del perímetro del dominio plano

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