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Solución del ejercicio n° 25 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 25 de funciones de varias variables
Problema n° 25
Calcular el perímetro del dominio plano:
Gráfico del perímetro de un dominio plano
(x - 1)² ≤ 4·y ≤ 1 + 2·x
Desarrollo
Fórmulas:
Solución
Para el perímetro calculamos la longitud de ambas curvas y luego las sumamos.
s1 ⇒ y = ½·x + ¼ ⇒ y' = 1/2
s2 ⇒ y = ¼·(x - 1)² ⇒ y' = ½·(x - 1)
s = s1 + s2
Hallamos los límites de integración:
(x - 1)² = 1 + 2·x
x² - 2·x + 1 = 1 + 2·x
x² - 4·x = 0
x·(x - 4) = 0
x1 = 0 y x2 = 4
Planteamos las integrales:
Resolvemos:
Para la segunda integral aplicamos un cambio de variable:
½·(x - 1) = sinh t
dx = 2·cosh t
s2 = 2·∫ √1 + sinh² t·cosh t·dt
Como:
cosh t = √1 + sinh² t
s2 = 2·∫ cosh t·cosh t·dt
s2 = 2·∫ cosh² t·dt
s2 = 2·[½·(t + sinh t·cosh t)]
s2 = t + sinh t·cosh t
Revirtiendo el cambio de variable con:
Sumando:
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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