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Guía de ejercicios de diferenciación. TP02

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 25 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 25 de funciones de varias variables.

Problema n° 25) Calcular el perímetro del dominio plano:


Gráfico del perímetro de un dominio plano

(x - 1)² ≤ 4·y ≤ 1 + 2·x

Fórmulas:

Solución

Para el perímetro calculamos la longitud de ambas curvas y luego las sumamos.

s = s1 + s2

Hallamos los límites de integración:

(x - 1)² = 1 + 2·x

x² - 2·x + 1 = 1 + 2·x

x² - 4·x = 0

x·(x - 4) = 0

x1 = 0 y x2 = 4

Planteamos las integrales:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Resolvemos:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Para la segunda integral aplicamos un cambio de variable:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Como:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Revirtiendo el cambio de variable con:

Cálculo del perímetro del dominio plano

Cálculo del perímetro del dominio plano

Cálculo del perímetro del dominio plano

Sumando:

Cálculo del perímetro del dominio plano

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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