Problema nº 25 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales

Enunciado del ejercicio nº 25

Calcular el perímetro del dominio plano:

Gráfico del perímetro de un dominio plano

(x - 1)² ≤ 4·y ≤ 1 + 2·x

Desarrollo

Fórmulas:

Solución

Para el perímetro calculamos la longitud de ambas curvas y luego las sumamos.

s = s₁ + s₂

Hallamos los límites de integración:

(x - 1)² = 1 + 2·x

x² - 2·x + 1 = 1 + 2·x

x² - 4·x = 0

x·(x - 4) = 0

x₁ = 0 y x₂ = 4

Planteamos las integrales:

Resolvemos:

Integramos:

Para la segunda integral aplicamos un cambio de variable:

Como:

Integramos:

Revirtiendo el cambio de variable con:

Sumando:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales