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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 24 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 24

Una partícula se mueve según la curva:

X(t) = (cosh t, sinh t, t)

Calcular la distancia recorrida entre t = 0 y t = 1.

Desarrollo

Fórmulas:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = b1 + [f'(x)]²·dx
 
a

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica y el parámetro es:

0 ≤ t ≤ 1

Aplicando la fórmula:

s = t2||X'(t)||·dt
 
t1
s = 1||(cosh t, senh t, t)'||·dt
 
0
s = 1||(senh t, cosh t, 1)||·dt
 
0
s = 1senh² t + cosh² t + 1²·dt
 
0

Como:

cosh² t - senh² t = 1

Luego:

s = 1senh² t + cosh² t + cosh² t - senh² t·dt
 
0
s = 12·cosh² t·dt
 
0
s = 2·1cosh t·dt
 
0
s = 2·senh t1
 
0

Recordando que:

sinh t = (et - e-t)/2

Finalmente:

s = 2·½·(et - e-t)1
 
0

s = 2·[½·(e¹ - e-1) - ½·(e0 - e-0)]

s = 2·[½·(e - e-1) - ½·(1 - 1)]

s = ½·2·(e - e-1)

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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