Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales
Problema n° 24 de funciones de varias variables - TP02
Enunciado del ejercicio n° 24
Una partícula se mueve según la curva:
X(t) = (cosh t, sinh t, t)
Calcular la distancia recorrida entre t = 0 y t = 1.
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica y el parámetro es:
0 ≤ t ≤ 1
Aplicando la fórmula:
| s = ∫ | t2 | ||X'(t)||·dt |
| t1 |
| s = ∫ | 1 | ||(cosh t, senh t, t)'||·dt |
| 0 |
| s = ∫ | 1 | ||(senh t, cosh t, 1)||·dt |
| 0 |
| s = ∫ | 1 | √senh² t + cosh² t + 1²·dt |
| 0 |
Como:
cosh² t - senh² t = 1
Luego:
| s = ∫ | 1 | √senh² t + cosh² t + cosh² t - senh² t·dt |
| 0 |
| s = ∫ | 1 | √2·cosh² t·dt |
| 0 |
| s = √2·∫ | 1 | cosh t·dt |
| 0 |
| s = √2·senh t | 1 |
| 0 |
Recordando que:
sinh t = (et - e-t)/2
Finalmente:
| s = √2·½·(et - e-t) | 1 |
| 0 |
s = √2·[½·(e¹ - e-1) - ½·(e0 - e-0)]
s = √2·[½·(e - e-1) - ½·(1 - 1)]
s = ½·√2·(e - e-1)
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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