Problema nº 24 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP02

Enunciado del ejercicio nº 24

Una partícula se mueve según la curva:

X(t) = (cosh t, sinh t, t)

Calcular la distancia recorrida entre t = 0 y t = 1.

Desarrollo

Fórmulas:

Fórmula de la integral de la longitud de la curva dada en forma paramétrica

Fórmula de la integral de la longitud de la curva

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica y el parámetro es:

0 ≤ t ≤ 1

Aplicando la fórmula:

Fórmula de la integral de la longitud de la curva dada en forma paramétrica

s = 1||(cosh t, senh t, t)'||·dt
 
0
s = 1||(senh t, cosh t, 1)||·dt
 
0
s = 1senh² t + cosh² t + 1²·dt
 
0

Como:

cosh² t - senh² t = 1

Luego:

s = 1senh² t + cosh² t + cosh² t - senh² t·dt
 
0
s = 12·cosh² t·dt
 
0
s = 2·1cosh t·dt
 
0
s = 2·senh t1
 
0

Recordando que:

sinh t = (et - e⁻t)/2

Finalmente:

s = 2·½·(et - e⁻t)1
 
0

s = 2·[½·(e¹ - e⁻¹) - ½·(e⁰ - e⁻⁰)]

s = 2·[½·(e - e⁻¹) - ½·(1 - 1)]

s = ½·2·(e - e⁻¹)

Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

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