Guía de ejercicios de diferenciación. TP02

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 24 de longitud de curvas regulares. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales

Problema n° 24 de funciones de varias variables.

Problema n° 24) Una partícula se mueve según la curva:

X(t) = (cosh t, sinh t, t)

Calcular la distancia recorrida entre t = 0 y t = 1.

Fórmulas:

Fórmula para el cálculo de longitud de curvas empleando integrales

Solución

La curva esta dada en forma paramétrica y el parámetro es:

0 ≤ t ≤ 1

Aplicando la fórmula:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Como:

cosh² t - sinh² t = 1

Luego:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

Recordando que:

sinh t = (et - e-t)/2

Finalmente:

Cálculo de la longitud de una curva aplicando integrales

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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