Guía de ejercicios de diferenciación. TP04

Funciones de varias variables: Solución del ejercicio n° 10 de recta tangente y plano normal. Ecuación cartesiana del plano normal. Problema resuelto. Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Problema n° 10 de funciones de varias variables.

Problema n° 10) Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

Debe verificar:

x = (t + 1)²

y = -t²

z = 3 - t

→ (t + 1)² - t² - (3 - t) = 1

t² +2·t + 1 - t² - 3 + t = 1

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

3·t - 3 = 0

3·t = 3

t = 1

Luego:

X(1) = [(1 + 1)², -1², 3 - 1]

X(1) = (4, -1, 2)

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

X'(t) = [2·(t + 1), -2·t, -1]

X'(1) = [2·(1 + 1), -2·1, -1]

X'(1) = (4, -2, -1)

La ecuación del plano es:

X·X'(1) = X(1)·X'(1)

(x, y, z)·(4, -2, -1) = (4, -1, 2)·(4, -2, -1)

4·x - 2·y - z = 16 + 2 - 2

Resultado, la ecuación cartesiana del plano normal a la curva es:

4·x - 2·y - z = 16

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Signos utilizados en las fórmulas y cálculos:

  • Signo separador de miles: punto (.)
  • Signo separador decimal: coma (,)
  • Signo de multiplicación: punto medio (·) o × (para producto vectorial)
  • Signo de división: barra (/) o dos puntos (:)

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