Problema nº 10 de funciones de varias variables, ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Enunciado del ejercicio nº 10

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

Debe verificar:

Cálculo de la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

3·t - 3 = 0

3·t = 3

t = 1

Luego:

X(1) = [(1 + 1)², -1², 3 - 1]

X(1) = (4, -1, 2)

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

X'(t) = [2·(t + 1), -2·t, -1]

X'(1) = [2·(1 + 1), -2·1, -1]

X'(1) = (4, -2, -1)

La ecuación del plano es:

X·X'(1) = X(1)·X'(1)

(x, y, z)·(4, -2, -1) = (4, -1, 2)·(4, -2, -1)

4·x - 2·y - z = 16 + 2 - 2

Resultado, la ecuación cartesiana del plano normal a la curva es:

4·x - 2·y - z = 16

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva