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Ejemplo, cómo hallar la ecuación cartesiana del plano normal a la curva

Problema n° 10 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 10

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

Debe verificar:

x = (t + 1)²
y = -t²
z = 3 - t
→ (t + 1)² - t² - (3 - t) = 1
t² +2·t + 1 - t² - 3 + t = 1

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

3·t - 3 = 0

3·t = 3

t = 1

Luego:

X(1) = [(1 + 1)², -1², 3 - 1]

X(1) = (4, -1, 2)

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

X'(t) = [2·(t + 1), -2·t, -1]

X'(1) = [2·(1 + 1), -2·1, -1]

X'(1) = (4, -2, -1)

La ecuación del plano es:

X·X'(1) = X(1)·X'(1)

(x, y, z)·(4, -2, -1) = (4, -1, 2)·(4, -2, -1)

4·x - 2·y - z = 16 + 2 - 2

Resultado, la ecuación cartesiana del plano normal a la curva es:

4·x - 2·y - z = 16

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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