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Solución del ejercicio n° 11 de recta tangente y plano normal. Ecuación cartesiana del plano normal. Problema resuelto.Ejemplo, cómo hallar la recta tangente a una curva
Problema n° 11 de funciones de varias variables
Problema n° 11
Mostrar que las curvas
a.
(t, 2·t², -1/t)
(1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)
Se cortan en el punto P = (1, 2, -1)
b.
Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.
Desarrollo
Fórmulas:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Solución
a.
Debe verificar:
x = 1
x = t
t = 1
y = 2
y = 2·t²
y = 2
z = -1
z = -1/t
z = -1
Luego:
x = 1 - θ
1 = 1 - θ
θ = 0
y = 2·cos θ
2 = 2·cos θ
1 = cos θ
z = (sen θ) - 1
-1 = (sen θ) - 1
0 = sen θ
θ = 0
Resultado, verifica para:
t = 1 y θ = 0
b.
Se trata del ángulo formado por los vectores normales a las curvas:
C1(t) = (t, 2·t², -1/t)
C1'(t) = (1, 4·t, 1/t²)
C1'(1) = (1, 4, 1)
C2(θ) = (1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)
C2(θ) = (-1, -2·sen θ, cos θ)
C2(0) = (-1, 0, 1)
cos φ = 0
Resultado, el ángulo entre dos vectores es:
φ = π/2
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Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)
San Martín. Buenos Aires. Argentina.
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