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Ejemplo, cómo hallar la recta tangente a una curva

Problema n° 11 de funciones de varias variables

Enunciado del ejercicio n° 11

Mostrar que las curvas

a)

(t, 2·t², -1/t)

(1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)

Se cortan en el punto P = (1, 2, -1)

b)

Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.

Desarrollo

Fórmulas:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Solución

a)

Debe verificar:

x = 1

x = t

t = 1

y = 2

y = 2·t²

y = 2

z = -1

z = -1/t

z = -1

Luego:

x = 1 - θ

1 = 1 - θ

θ = 0

y = 2·cos θ

2 = 2·cos θ

1 = cos θ

z = (sen θ) - 1

-1 = (sen θ) - 1

0 = sen θ

θ = 0

Resultado, verifica para:

t = 1 y θ = 0

b)

Se trata del ángulo formado por los vectores normales a las curvas:

C1(t) = (t, 2·t², -1/t)

C1'(t) = (1, 4·t, 1/t²)

C1'(1) = (1, 4, 1)

C2(θ) = (1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)

C2(θ) = (-1, -2·sen θ, cos θ)

C2(0) = (-1, 0, 1)

cos φ =C1'(1)·C2'(0)
||C1'(1)||·||C2'(0)||
cos φ =(1, 4, 1)·(-1, 0, 1)
||(1, 4, 1)||·||(-1, 0, 1)||
cos φ =-1 + 1
||(1, 4, 1)||·||(-1, 0, 1)||

cos φ = 0

Resultado, el ángulo entre dos vectores es:

φ = π/2

Autor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet)

San Martín. Buenos Aires. Argentina.

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