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Resolver los siguientes ejercicios

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Fórmulas aplicables:

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Problema nº 10

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

• Respuesta: 4·x - 2·y - z = 16

Problema nº 11

Mostrar que las curvas

a)

(t, 2·t², -1/t)

(1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)

Se cortan en el punto P = (1, 2, -1)

b)

Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.

• Respuesta:

a) t = 1 y θ = 0; φ = π/2

Problema nº 12

Una partícula se mueve sobre la curva:

X(t) = (cosh t, senh t, t), t ≥ 0

Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t.

Problema nº 13

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (cos 3·t, sen 3·t, t²) en el punto:

(0, 1, π²/4)

Si el problema esta bien puesto.

• Respuesta: 3·x + π·z = π³/4

Problema nº 14

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (t², t³, t² + 1) en las eventuales intersecciones de la misma con el plano z = x + y.

Problema nº 15

Calcular el área de la región del plano encerrada entre la curva (x, y) = (cos⁴ t, sen⁴ t), 0 ≤ t ≤ π, x = 0.

Problema nº 16

Calcular el área de una elipse de semiejes a y b.

Problema nº 17

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:

a) z = e³˙ˣ·sen 5·y - z, en el punto (0, π/6, ½)

b) y = eˣ·cos z, en el punto (1, e, 0)

c) x² + eʸ = z, en el punto (1, 0, 2)

• Respuesta:

a) ;

b) (x, y, z) = (1, e, 0) + μ·(e, -1, 0); e·x - y = 0;

c) (x, y, z) = (1, 0, 2) + μ·(2, 1, -1); 2·x + y - z = 0

Problema nº 18

Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva:

(e^t, e^2·t, 1 + e^t), en el punto (1, 1, 2).

• Fuente:

"Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.