Guía n° 4 de ejercicios de diferenciación

Resolver los siguientes ejercicios

Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)

Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:

X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]

En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.

Mostrar que las curvas

(t, 2·t², -1/t)

(1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)

Se cortan en el punto P = (1, 2, -1)

Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.

Una partícula se mueve sobre la curva:

X(t) = (cosh t, senh t, t), t ≥ 0

Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t.

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (cos 3·t, sen 3·t, t²) en el punto:

(0, 1, π²/4)

Si el problema esta bien puesto.

Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (t², t³, t² + 1) en las eventuales intersecciones de la misma con el plano z = x + y.

Calcular el área de la región del plano encerrada entre la curva (x, y) = (cos⁴ t, sen⁴ t), 0 ≤ t ≤ π, x = 0.

Calcular el área de una elipse de semiejes a y b.

Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:

a) z = e^3·x·sen 5·y - z, en el punto (0, π/6, ½)

b) y = e^x·cos z, en el punto (1, e, 0)

c) x² + e^y = z, en el punto (1, 0, 2)

Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva:

(e^t, e^2·t, 1 + e^t), en el punto (1, 1, 2).

• Fuente:

Ejercicios extraídos del libro "Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.

Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina